Beweis Nullfunktion (Analysis)

Question

Aufgabe:

Sei f:[0;1] → R eine stetige Funktion und es gelte für alle stetigen Funktionen h:[0;1] → R, dass

\( \int\limits_{0}^{1} \) f(x)h(x)dx=0.

Man zeige: f ist die Nullfunktion.

Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Freue mich über jede Hilfe.

Comments

Hallo,

Erste Hilfe: Wende die Voraussetzung an auf h:=f.

Zweite Hilfe: Wenn f stetig ist und es eine Stelle \(s \in [0,1]\) gibt mit \(|f(s)|>0\), dann gibt es eine Umgebung von s, in der \(f(x)^2\) positiv ist. Was bedeutet das für das Integral übe \(f^2\)?

---

Danke erstmal für die Tipps. Ich verstehe trotzdem noch nicht wie ich das dann am Ende zeigen soll, dass f die Nullfunktion ist.

Answer 1

Hallo,

zunächst folgt \(\int_0^1 f(x)^2 dx=0\). Wenn die Funktion f nicht stetig wäre, könnte sie zum Beispiel nur an einem einzigen Punkt ungleich 0 sein und sonst gleich 0. Dann wäre das Integral gleich 0.

Jetzt ist aber f als stetig vorausgesetzt, dann ist auch \(f^2\) stetig. Wenn nun für ein \(s \in [0,1] \) gilt: \(f(s)^2=q>0\), dann existiert wegen der Stetigkeit ein \(\delta >0\) so dass:

$$f(x)^2 \geq \frac{q}{2} \text{ für } x \in [0,1] \text{ mit } |s-x| < \delta$$

Dieser Berecih für x sei mit D bezeichnet. Damit kann man das Integral abschätzen durch:

$$\int_0^1 f(x)^2 dx \geq \int_D f(x)^2 dx \geq \frac{q}{2} \delta >0$$

Das wäre ein Widerspruch.

Gruß