Rotationskörper und Volumen

Question

Hallo ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe,

man muss dasVolumen des Körpers berechnen der entsteht wenn die Kurve y= f(x)= cos(x)+3/2,x ∈ [π/2,3π/2] um die x Achse rotiert

hier sind folgende Antwort Möglichkeiten

a) 3/2π² +6π

b) 11/8π+6π²

c) 11/4π²-6π

d) 11/2π²

e) π²-3/2

danke im voraus für die Hilfe 

Comments

Hallo

 da musst du wohl integrieren, was daran kannst du nicht? Solche Aufgaben heissen eigentlich immer rechne nach.

Gruß lul

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Ja das habe ich schon bereits gemacht komme aber  auf keine der folgenden

Antwortmöglichkeiten !

Answer 1

Volumen bei Rotation um die x-Achse V=pi*∫y²*dx

V=pi*∫(cos(x)+3/2*x)²*dx  → binomische Formel (x+b)²=x²+2*b*x+b²

(cos(x)+3/2*x)²=cos²(x)+2*3/2*x*cos(x)+(3/2*x)²=cos²(x)3*x*cos(x)+9/4*x²

V=pi*∫(cos²(x)+3*x*cos(x)+9/4*x²)*dx

V=pi*(∫(cos²(x)*dx)+3*∫x*cos(x)*dx)+9/4*∫(x²*dx)

aus dem Mathe-Formelbuch,Integralrechnung,Integrale trigonometrischer Funktionen

∫(cos^(n)(c*x)*dx=(cos^(n-1)*sin(c*x))/(n*c)+(n-1)/n*∫(cos^(n-1)(c*x)*dx)  mit n>0 und c≠0

Partielle Integration ∫(u*dv)=u*v-∫v*du

∫(x*cos(x)*dx

+9/4*∫x²*dx=+9/(4*3)*x^(2+1)=9/12*x³

Der Rest ist viel Rechnerei den ich hier nicht leisten kann

Mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

V=∫(cos(x)+3/2*x)²*dx  in den Grenzen xo=3/2*pi  und xu=1/2*pi V=58,299..VE (Volumeneinheiten)

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besten Dank für die Hilfe

Answer 2

a(x) = pi·(COS(x) + 3/2)^2 = pi·(COS(x)^2 + 3·COS(x) + 9/4)
A(x) = pi·((SIN(x)·COS(x) + x)/2 + 3·SIN(x) + 9/4·x)

∫ (pi/2 bis 3/2·pi) a(x) dx = A(3/2·pi) - A(pi/2) = (33·pi^2/8 - 3·pi) - (11·pi^2/8 + 3·pi) = 11/4·pi^2 - 6·pi

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vielen dank habe es jetzt verstanden