Ableitung einer e-Funktion

Question

Hallo :)

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

Gesucht werden die 1. und 2. Ableitung von: f(x)= 0,2*ℯ^{0,1x-0,9}

f'(x)=0,02*e^{0,1x-0,9}
f''(x)=0,002*e^{0,1x-0,9}

Stimmt das soweit?

Dann soll f''(x)=0 sein.
0=0,002*e^{0,1x-0,9}

Hier weiß ich nicht mehr wie es weiter geht...  ! :)

Answer 1

Die angegebenen Ableitungen sind korrekt.

Wenn man mag, kann man f ( x ) auch so schreiben:

f ( x ) = 0,2*e^-0,9 * e^0,1x

Der Ausdruck 0,2*e^-0,9 ist konstant. Kürzt man ihn mit K ab, erhält man:

f ( x ) = K * e^0,1x

und sieht "sofort", dass für die n-ten Ableitungen f ^{( n )} gilt::

f ^{( n )} ( x ) = ( 0,1) ⁿ * K * e ^{0,1 x}

also z.B.

f ⁽¹⁾ ( x ) = f ' ( x ) = 0,1 ¹ * 0,2 * e^-0,9 * e^0,1x = 0,02 * e^-0,9 * e^0,1x

und

f ^{( 2 )} ( x ) = f ' ' ( x ) = 0,1 ² * 0,02 * e^-0,9 * e^0,1x = 0,002 * e^-0,9 * e^0,1x

usw.

 

Die Gleichung

f ' ' ( x ) = 0,002*e^0,1x-0,9 = 0

hat keine reelle Lösung, da Exponentialfunktionen keine Nullstellen haben.