Wie kann man folgende Ungleichung zeigen?

Question

Die Ungleichung soll gezeigt werden, wobei 0<x≤y gilt und x,y aus ℝ sind.
\( \frac{2xy}{x+y} \) ≤\( \frac{x+y}{2} \)

Mir fehlt da irgendwie jeglicher Lösungsansatz.

Answer 1

Aloha :)

Beachte bitte im Folgenden, dass nach Voraussetzung \(0<x\le y\) gilt. Wir haben es also nur mit positiven Werten für \(x\) und \(y\) zu tun. Wir starten den Beweis damit, dass eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist:

$$\left.(x-y)^2\ge0\quad\right|\;\text{2-te binomische Formel anwenden}$$$$\left.x^2-2xy+y^2\ge0\quad\right|\;+4xy$$$$\left.x^2+2xy+y^2\ge4xy\quad\right|\;\text{1-te binomische Formel anwenden}$$$$\left.(x+y)^2\ge4xy\quad\right|\;:(x+y)\text{ (ist nach Voraussetzung positiv)}$$$$\left.x+y\ge\frac{4xy}{x+y}\quad\right|\;:2$$$$\left.\frac{x+y}{2}\ge\frac{2xy}{x+y}\quad\right.\quad\checkmark$$

Comments

Answer 2

Lösungsfindung:

Multipliziere mit 2(x+y).

Wende rechts die binomische Formel an.

Subtrahiere 4xy.

Wende rechts die binomische Formel an.

Das ist der Weg von der Behauptung zu einer stets gültigen Aussage.

Der Beweis selbst läuft in entgegengesetzte Richtung:

"Stets gilt ...

Daraus folgt...

Daraus folgt..."

Comments

Erstmal danke für deine Hilfe.

\( \frac{2xy}{x+y} \) ≤ \( \frac{x+y}{2} \) ⇔

\( \frac{4xy(x+y)}{x+y} \) ≤  (x+y)(x+y) ⇔
4xy ≤   \( (x+y)^{2} \) ⇔
0 ≤ \( (y-x)^{2} \)

⇒ In Zusammenhang der beiden Aussagen folgt x>0 und y≥x.

Reicht das und man ist damit fertig?

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Jetzt hast du den Faden verloren.

folgt x>0 und y≥x.

Das folgt nicht, das war gegeben. y≥x ist übrigens völlig überflüssig,

wichtig ist nur x,y >0 und wird benötigt, damit sich beim Multiplizieren mit x+y das Relationszeichen nicht umdreht.

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Okay, aber ab wann kann man dann sagen das die Ungleichungs als bewisen gilt?

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Du verwendest aus Faulheit genau-dann-wenn-Pfeile, ohne darüber nachzudenken, ob in jedem Schritt die Schlussrichtung in beiden Richtungen möglich ist.

Entweder du argumentierst jedes mal, warum du diese Pfeile verwendest, oder du nimmst den angedeuteten Rückweg (die Gegenrichtung der Beweisfindung).