LGS keine,eine,unendlich

Question

x+(3-a)y=1

2x+6y+2z=2

2x+7y+(a+2)z=4

Wie kann ich bei dieser Aufgabe heraus finden bei welcher Zahl a das LGS genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat ?

Answer 1

am einfachsten mit der Cramer´schen Regel

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst

1) 1*x+(3-a)*y+0*z=1

2) 2*x+6*y+2*z=2

3) 2*x+7*y+(a-2)*z=4

Lösbarkeitsregeln nach der Cramer´schen Regel

Koeffizientendeterminate D≠0  und Dxk≠0 eindeutige Lösungsmenge

D=0 und Dxk=0 unendliche Lösungsmenge

D=0 und Dxk≠0 Widerspruch (keine Lösung möglich)

Koeffizientendeterminante

1 Reihe 1 (3-a) 0

2 Reihe 2  6  2

3 Reihe 2  7  (a+2)

Determinate Dx  → Spalte x wird durch 1 2 4 ersetzt

1 Reihe 1  (3-a)  2

2 Reihe 2  6  2

3 Reihe 4 7  (a+2)

unendlich viele Lösungen,wenn die Gleichungen abhängig voneinander sind

Beispiel: a=0

1) 1*x+3*y+0*z=1

2) 2*x+6*y+2*z=2

Gleichung 2) ist aus 1) entstanden

1) multipliziert mit 2

2*x+6*y+0*z=2

Führt zum Widerspruch

Unendlich viele Lösungen,wenn weniger Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind

Beispiel: 3 Unbekannte und nur 2 Gleichungen

1) 1*x+2*y+3*z=8

2) 2*x-3*y+1*z=-3

wir setzen z=1

1) 1*x+2*y=8-3=5

2) 2*x-3*y=-3+1=-4

Lösung: eine Lösung von unendlich vielen  x=1 und y=2 und z=1

Answer 2

Aloha :)$$\left(\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline 1 & 3-a & 0 & 1\\2 & 6 & 2 & 2\\2 & 7 & a+2 & 4\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\-\frac{1}{2}\cdot Z_2\\:2\\-Z_2\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline 0 & -a & -1 & 0\\1 & 3 & 1 & 1\\0 & 1 & a & 2\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\+a\cdot Z_3\\-3\cdot Z_3\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline 0 & 0 & a^2-1 & 2a\\1 & 0 & 1-3a & -5\\0 & 1 & a & 2\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\:(a^2-1)\\{}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline 0 & 0 & 1 & \frac{2a}{a^2-1}\\1 & 0 & 1-3a & -5\\0 & 1 & a & 2\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{\phantom{\frac{2a}{a^2-1}}}\\{-(1-3a)\cdot Z_1}\\{-a\cdot Z_1}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline 0 & 0 & 1 & \frac{2a}{a^2-1}\\1 & 0 & 0 & -5-(1-3a) \frac{2a}{a^2-1}\\0 & 1 & 0 & 2-a \frac{2a}{a^2-1}\end{array}\right)$$

Keine Lösung hat das LGS für \(a=1\) und \(a=-1\).

Eine eindeutige Lösung hat das LGS für \(a\ne1\) und \(a\ne-1\).

Der Fall unendlich vieler Lösungen tritt nicht auf.