Algebra - eine alte Känguruaufgabe

Question

Ich soll einsichtig und schülerzugängliche alle Paare (x,y) Element IR bestimmten, für die gilt:


x+y=x*y=x/y



vielen Dank im voraus!!

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Aus welchem Wettbewerb stammt die Aufgabe?

Answer 1

x*y=x/y → y=1/y → y^2=1  → y=1 oder y=-1

  y=1 --> x+1=x*1  --> 1=0  Falsch

  y=-1 --> x-1=x*(-1) → 2x=1 → x=0,5

0,5+(-1)=-0,5

0,5*(-1)=-0,5

0,5/(-1)=-0,5

Ergebnis: x=0,5  ;  y=-1

Schüler*innen-gerecht:

Ich würde mit x*y=x/y anfangen (siehe 1. Zeile), verschiedene Werte für x einsetzen und feststellen, dass y nur 1 oder -1 sein kann.

Mit y=1 wie in der zweiten Zeile, wieder mehrere Werte für x einsetzen und feststellen, dass Blödsinn rauskommt.

y=-1 (3. Zeile): Welche Zahl wird ihre Gegenzahl, wenn ich 1 subtrahiere, d.h. wir suchen zwei Zahlen mit gleichem Betrag, die auf der Zahlengerade 1 Längeneinheit voneinander entfernt sind. Das müssen 0,5 und -0,5 sein. Gesucht ist die größere Zahl, also x=0,5-

Wolframalpha liefert die gleiche Lösung.

Answer 2

Löse die Gleichung x+y=x*y nach x auf ((1) x=\( \frac{y}{y-1} \)) und die Gleichung x·y=x/y nach x auf ((2) x=0 ∨ y=1/y).

Für x=0 ist wegen x+y=x*y auch y=0. Dann ist aber x/y nicht definiert.

Für y=1/y gilt wegen (1) die Gleichung (3) \( \frac{1}{1-y} \) =x

(1) und (3) gleichgesetzt: \( \frac{y}{y-1} \))=\( \frac{1}{1-y} \). Das führt zu y²-1=0 und y=1 und dann x+1=x.

Es gibt keine solchen Zahlenpaare

Comments

Es gibt keine solchen Zahlenpaare

Es kann nur eins geben...   :-)

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Es gibt keine solchen Zahlenpaare.

Monty hat welche gefunden.

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Es kann nur eins geben...  :-)

Highlander????

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$$...=\frac{ y }{1-y}$$ 

Der rechte Teil deiner Gleichung (3) ist falsch. Der Zähler müsste 1 sein.

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Monty, du hast recht. Ich habe es verbessert.

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Das führt zu y^2-1=0 und y=1 und dann x+1=x.

Da fehlt aber noch was, nämlich y=-1 usw.   :-)

Tipp: Guck dir mal meine Antwort an ...

Answer 3

Hallo,

wie man analytisch zur Lösung kommt, wurde ja bereits beschrieben. Im folgenden ein Applet, mit dessen Hilfe man auch eine (die) Lösung finden kann. Setze ich $$x+y = x \cdot y = \frac xy = A$$so kann man für jede der drei Gleichungen (mit \(\dots = A\)) für ein festes \(A\) einen Graphen zeichnen. Wählt man das \(A\) so, dass sich alle drei Graphen in einem gemeinsamen Punkt schneiden, so hat man eine Lösung gefunden.

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/jawruv3f/5/

Die rote Gerade steht für $$x+y = A$$die blaue Gerade für $$\frac xy = A$$ und die grüne Hyperbel für $$x \cdot y = A$$verschiebe \(A\) (gelb) horizontal mit der Maus, bis der Schnittpunkt \(S\) der Geraden auf der Hyperbel liegt. An der Position von \(S\) kann man anschließend die Lösung für \(x\) und \(y\) ablesen.

Gruß Werner