1) Durch \(\; a \sim b \;:\iff a-b\in U\) wird eine Äquivalenzrelation definiert.
Die Äquivalenzklasse eines \(a\in V\) ist die Nebenklasse \(a+U\).
Äquivalenzklassen sind entweder disjunkt oder gleich.
Wenn also \(b \in a+U\) ist, ist \(b+U\cap a+U\neq \emptyset\), folglich \(a+U=b+U\).
2) \(a+U=b+W\Rightarrow (a-b)+U=W\). Wegen \(0\in U\) folgt
\(a-b\in W\), nach 1) also \(a+W=b+W\) und wegen \(b+W=a+U\)
bekommt man \(a+W=a+U\). Subtrahiert man auf beiden Seiten \(a\),
so ergibt sich \(W=U\).