seien U, W ⊆ V Unterräume

Question

Hallo, kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich finde einfach keinen Ansatz, um diese Aufgabe zu lösen.

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, seien U, W ⊆ V Unterräume von V und seien a, b ∈ V .

Gezeigt werden soll nun:
1) Ist b ∈ a + U, so ist a + U = b + U.
2)Aus a+U=b+W folgt U=W

Answer 1

1) Durch \(\; a \sim b \;:\iff a-b\in U\) wird eine Äquivalenzrelation definiert.

Die Äquivalenzklasse eines \(a\in V\) ist die Nebenklasse \(a+U\).

Äquivalenzklassen sind entweder disjunkt oder gleich.

Wenn also \(b \in a+U\) ist, ist \(b+U\cap a+U\neq \emptyset\), folglich \(a+U=b+U\).

2) \(a+U=b+W\Rightarrow (a-b)+U=W\). Wegen \(0\in U\) folgt

\(a-b\in W\), nach 1) also \(a+W=b+W\) und wegen \(b+W=a+U\)

bekommt man \(a+W=a+U\). Subtrahiert man auf beiden Seiten \(a\),

so ergibt sich \(W=U\).