direkte Summe von Vektorräumen Beweis

Question

folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

Seien zwei Vektorräume V und W über K gegeben, mit dim(V)=n und dim(W)=m. Das cartesische Produkt VxW wird durch die Verknüpfungen (v1,w1)+(v2,w2) := (v1+v2,w1+w2) und λ*(v,w) := (λv,λw) ebenfalls zu einem K-Vektorraum, der die direkte Summe V+W heißt.

Zu zeigen: dim(V+W)= n+m

Meine bisherigen Ansätze zu der Aufgabe sind folgende:

Kann man irgendwie zeigen, dass dim(V∩W)={0}, da der Rest dann ja aus der Dimensionsformel folgt?

Zunächst hätte ich eine Basis B:={(v1,0),...,(vn,0),(0,w1),...,(0,wm)} gewählt. Wenn ich jetzt aber beweisen möchte, dass diese Basis ein Erzeugendensystem und linear unabhängig ist, komme ich nicht weiter.

Vielen Dank für jede Hilfe!

Answer 1

Wenn (v,w) ein Vektor aus VxW ist und v_1,...,v_n Basis von V, w_1, ...., w_m Basis von W, wie findest du dann eine Linearkombination von  (v,w) bzgl. (v_1,0),...,(v_n,0),(0,w_1),...,(0,w_m)?

Wenn du eine Linearkombination der 0 betrachtest $$ a_1(v_1,0)+\dotsm+a_n(v_n,0)+b_1(0,w_1)+\dotsm+b_m(0,w_m ) =(0,0) $$

Warum müssen dann schon alle a_i und b_j =0 sein?

Beides läuft darauf hinaus die Eigenschaften der Basen (v_i) und (w_j) anzuwenden.

Comments

Erstmal vielen Dank für die Antwort!

Also wenn ich die v_n und die w_m ungleich 0 wähle, dann leuchtet mir das ein, dass die Koeffizienten gleich 0 sein müssen und damit die lineare Unabhängigkeit bewiesen ist. Kann ich das einfach folgern oder muss man da noch Zwischenschritte notieren?

Als zweite Bedingung muss ich dann ja noch das Erzeugendensystem nachweisen, oder? Wie gehe ich denn dabei vor?

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Also wenn ich die v_n und die w_m ungleich 0 wähle, dann leuchtet mir das ein, dass die Koeffizienten gleich 0 sein müssen

Das klingt seltsam.

Betrachte z.B. die Vektoren v=(1,2) und w=(2,4), dann gilt auch

2v+(-1)w = 0

Welche Eigenschaften fehlt diese Vektoren nämlich?

In einer Basis (das war mit Absicht fett markiert) kann außerdem nie der Nullvektor liegen, warum?

Als zweite Bedingung muss ich dann ja noch das Erzeugendensystem nachweisen, oder? Wie gehe ich denn dabei vor?

Wenn (v,w) ein Vektor aus VxW ist und v_1,...,v_n Basis von V, w_1, ...., w_m Basis von W, wie findest du dann eine Linearkombination von  (v,w) bzgl. (v_1,0),...,(v_n,0),(0,w_1),...,(0,w_m)?

Indem du diese Linearkombination suchst. Das ist eigentlich nicht wirklich schwer, versuche es mal.

Basen sind linear unabhängige Erzeugendensysteme.

v liegt in V, v_i ist Basis von V => ?

W liegt in W, w_j ist Basis von W => ?

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Man nimmt aber doch die Vektoren aus dem der Basis des Cartesischen Produkts VxW?

Die lineare Unabhängigkeit meint doch, dass a_1,...,a_n=b_1,...,b_m=0 sein müssen, oder?

Und für das Erzeugendensystem muss dann eine Linearkombination von (v,w) gefunden werden?

a_1*(v_1,0)+...+a_n*(v_n,0)+b_1*(0,w_1)+...+b_m*(0,w_m) = ∑_i=1=>n a_i*(v_n*0) ∑_j=1=>m b_j*(0,w_m)

Habe das Erzeugendensystem irgendwie noch nicht wirklich verstanden :/

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Ah, ich glaube wir denken aneinander vorbei:

Du nimmst eine Basis ( (v_1,0), ..., (v_n, 0), (0, w_1), ..., (0, w_m) ) von V+W, das finde ich aber nicht wirklich klar... Warum sollte so eine Basis existieren?

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Ich nehme hingegen eine Basis (v_1,...,v_n) von V und eine Basis (w_1,...,w_m) von W und betrachte anschließend die Familie

( (v_1,0), ..., (v_n, 0), (0, w_1), ..., (0, w_m) )

Von dieser weiß man erstmal nicht ob sie linear unabhängig oder ein Erzeugendensystem von V+W ist.

Und jetzt hätte ich beides nachgerechnet:

Die lineare Unabhängigkeit meint doch, dass a_1,...,a_n=b_1,...,b_m=0 sein müssen, oder?

Das ist vollkommen richtig, also nehmen wir uns eine Linearkombination der 0 (und das ist wirklich der 0815-Standardansatz um lineare Unabhängigkeit nachzuweisen), der Nullvektor in V+W ist \( (0_V,0_W) \) mit den Nullvektoren aus V und W.

$$ \begin{aligned} (0,0) &= a_1(v_1,0)+\dotsm+a_n(v_n,0)+b_1(0,w_1)+\dotsm+b_m(0,w_m ) \\ &= (a_1v_1 + \dotsm a_nv_n, b_1w_1+\dotsm+b_mw_m) \end{aligned} $$ $$ \implies a_1v_1 + \dotsm a_nv_n = 0 \text{ und } b_1w_1+\dotsm+b_mw_m = 0 $$

Wie geht es jetzt weiter um \( a_i = 0 \) und \( b_j = 0 \) zu zeigen? Also was ist hier das konkrete Argument?

Und für das Erzeugendensystem muss dann eine Linearkombination von (v,w) gefunden werden?

Ja genau,für jeden Vektor (v,w) aus VxW musst du eine Linearkombination finden. sei also (v,w) aus VxW beliebig.

Da \( (v_1,...,v_n) \) Basis von V und \( v \in V \) findest du doch eine Linearkombination \( v = a_1v_1 + \dotsm + a_n v_n \).

Übertrage das mal selbstständig auf \( w \in W \). Du weißt, dass \( (w_1,...,w_m) \) eine Basis von W ist.

Und dann kommst du auf sowas:

$$ (v,w) = (a_1v_1 + \dotsm a_nv_n, b_1w_1+\dotsm+b_mw_m) $$

Und jetzt musst du das nur noch auseinanderziehen.

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Uns wurde als Tipp gegeben, diese Basis aufzustellen und dann auf Linearität und Erzeugendensystem zu untersuchen.

Dass a_i=0 und b_i=0 müsste ja daraus folgen, dass v_n und w_m≠ der Nullvektor, da sie Basisivektoren sein sollen?

Für das Erzeugendensystem zeigt das ja dann eigentlich, dass man alle Vektoren v_n für den ersten Eintrag und alle Vektoren w_m für den zweiten Eintrag benötigt - also n+m Vektoren? Was dann auch die Dimension wäre?

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Uns wurde als Tipp gegeben, diese Basis aufzustellen und dann auf Linearität und Erzeugendensystem zu untersuchen.

Der Tipp war wahrscheinlich: v_i Basis von V, w_j basis von W, betrachten Sie das System ( (v_1,0), ... )

Dass ai=0 und bi=0 müsste ja daraus folgen, dass vn und wm≠ der Nullvektor, da sie Basisivektoren sein sollen?

Ungleich 0 Vektor reicht nicht als Argument. Verwende die lineare Unabhängigkeit der Basisivektoren.

Für das Erzeugendensystem zeigt das ja dann eigentlich, dass man alle Vektoren vn für den ersten Eintrag und alle Vektoren wm für den zweiten Eintrag benötigt

Mit "benötigen" hat das nicht direkt etwas zu tun, du zeigst viel eher dass du aus diesen Vektoren jeden Vektor in VxW bauen kannst. Es gibt auch Erzeugendensystem die mehr Vektoren enthalten als man benötigt.

also n+m Vektoren? Was dann auch die Dimension wäre?

Ja genau, die Dimension ist die Länge der Basis. Das ist hier n+m

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Ungleich 0 Vektor reicht nicht als Argument. Verwende die lineare Unabhängigkeit der Basisivektoren.

Da die Basisvektoren die Eigenschaft linear Unabhängig (da Basis) besitzen, kann ich also daraus schließen, dass a_i=0 und b_i=0, habe ich das richtig verstanden?

Muss ich dann für das Erzeugendensystem folgendes zeigen?:

(v,w)=a₁(v₁,0)+...+a_n(v_n,0) , b₁(0,w₁)+...+b_m(0,w_m)=(a₁v₁+...+a_nv_n , b₁w₁+...+b_mw_m)

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Da die Basisvektoren die Eigenschaft linear Unabhängig (da Basis) besitzen, kann ich also daraus schließen, dass ai=0 und bi=0, habe ich das richtig verstanden?

Ja, richtig.

Muss ich dann für das Erzeugendensystem folgendes zeigen?:

(v,w)=a1(v1,0)+...+an(vn,0) , b1(0,w1)+...+bm(0,wm)=(a1v1+...+anvn , b1w1+...+bmwm)

Nein, du musst zeigen: Für alle \( (v,w) \in V \times W \) existieren Koeffizienten \( a_i, b_j \in \mathbb{R} \) s.d.
$$ (v,w) = a_1(v_1,0)+\dotsm+a_n(v_n,0)+b_1(0,w_1)+\dotsm+b_m(0,w_m ) $$

Ich habe dir oben erklärt, wie du für ein beliebiges (v,w) die Existenz von \( a_i, b_j \) mit
$$ (v,w) = (a_1v_1 + \dotsm a_nv_n, b_1w_1+\dotsm+b_mw_m) $$
begründen kannst, und mit diesen Koeffizienten gilt auch:
$$ (v,w) = a_1(v_1,0)+\dotsm+a_n(v_n,0)+b_1(0,w_1)+\dotsm+b_m(0,w_m ) $$

Also hast du die Existenz nachgewiesen und da (v,w) beliebig gewählt war sogar für alle \( (v,w) \in V\times W \)

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Verstehe! Vielen vielen Dank!

Answer 2

Text erkannt:

\( V_{1} W \quad K-V R, \quad \operatorname{dim}(V)=n, \operatorname{dim}(W)=m \)
\( V \times W:=\left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right):=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right), x \cdot\left(v_{1} w\right)=\left(2 v_{1} \lambda w\right) \)
ebentalls \( K-v R \), direkte summe \( V \oplus W \)
\( 2 \cdot z: \operatorname{dim}(V \oplus w)=n+m \)
Beweis: \( B=\left\{b_{1}, \ldots, b_{n}\right\} \) Basis von \( V \) und \( C=\xi\left(_{1}, \ldots, c_{n}\right\} \) basis von \( W \)
\( \left.D:=\xi d_{1}, \ldots, d_{m+n}\right\} \subset V \times W \) mit \( d_{i}=\left(b_{i}, 0\right) \) für \( 1 \leq i \leq n \)
und \( d i=(0, c ;) \operatorname{tar} n+1 \leq i \leq m+n \)
Seien \( u \in V x W \), \( v \in V \) und \( w \in W \) mit \( u=(v, w) \) \( u=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} b_{i}, \sum \limits_{i=1}^{m} \beta_{i} \cdot c_{i}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} \cdot d_{i}+\sum \limits_{i=n+1}^{m+n} \beta_{i} \cdot d_{i}, \alpha_{i, \beta}=\epsilon K \)
\( \Rightarrow \quad \) D ist Eremgendensystem von \( V \times W \)
Sel \( \alpha: \in K, \quad 1 \leq i \leq m+n \) mit
\( 0=\sum \limits_{i=1}^{m+n} \alpha ; d i \)
\( 0=\sum \limits_{i=1}^{n} \alpha: a_{i}+\sum \limits_{i=n+1}^{m+n} \alpha_{i} \cdot d_{i} \)
=) Dist linear unabhäng'g
\( =>\operatorname{dim}(V \oplus \omega)=n+m=\operatorname{dim}(V)+\operatorname{dim}(\omega) \square \)