Aloha :)$$a_{n+1}:=\frac{1}{2}a_n+\sqrt {a_n}\quad;\quad a_0:=1$$a) Beschränktheit zeigen: \(0<a_n<4\;\;\forall n\in\mathbb{N}\)
Verankerung \(n=1\): \(\quad 0<a_0=1\quad\land\quad a_0=1<4\quad\checkmark\)
Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\sqrt{a_n}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(a_n+2\sqrt{a_n}+1)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(\sqrt {a_n}+1)^2-\frac{1}{2}$$$$a_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt {a_n}+1)^2-\frac{1}{2}\;\stackrel{(I.V.)}{>}\;\frac{1}{2}(0+1)^2-\frac{1}{2}=0\quad\checkmark$$$$a_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt {a_n}+1)^2-\frac{1}{2}\;\stackrel{(I.V.)}{<}\;\frac{1}{2}(\sqrt4+1)^2-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4\quad\checkmark$$
b) Monotonie zeigen
$$a_{n+1}-a_n=\left(\frac{1}{2}a_n+\sqrt{a_n}\right)-a_n=-\frac{1}{2}a_n+\sqrt{a_n}=-\frac{1}{2}a_n+\sqrt{a_n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=-\frac{1}{2}\left(a_n-2\sqrt{a_n}+1\right)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\underbrace{(\sqrt{a_n}-1)^2}_{<1}+\frac{1}{2}>0$$Beachte: \(a_n\in(0|4)\Rightarrow\sqrt a_n\in(0|2)\Rightarrow\sqrt{a_n}-1\in(-1|1)\Rightarrow(\sqrt{a_n}-1)^2<1\).
Die Folge \((a_n)\) ist streng monoton wachsend.
c) Grenzwert bestimmen
Jede beschränkte monotone Folge konvergiert, also insbesondere die hier betrachtete.
Den Grenzwert \(a:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) finden wir wie folgt:
$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1})=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}a_n\right)+\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{a_n}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1})=\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to\infty}a_n+\sqrt{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}$$$$a=\frac{1}{2}a+\sqrt{a}\;\Rightarrow\;\frac{a}{2}=\sqrt{a}\;\Rightarrow\;\frac{\sqrt a}{2}=1\;\Rightarrow\;\sqrt a=2\;\Rightarrow\;a=4$$Der Grenzwert der Folge ist \(a=4\).
