Aloha :)
$$g:\,\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad h:\,\vec y=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$$
Suche dir einen festen Punkt auf der Geraden \(g\), z.B. \((0|0|2)\), und ziehe von dort einen Vektor \(\vec d\) zu einem beliebigen Punkt \(\vec y\) der Geraden \(h\):
$$\vec d=\vec y-\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mu-1\\3\mu\\2\mu\end{pmatrix}$$Projeziere diesen Vektor \(\vec d\) auf die Gerade \(g\):
$$\vec d_\parallel=\frac{\left[\begin{pmatrix}\mu-1\\3\mu\\2\mu\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right]}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}^2}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\frac{\mu-1+6\mu+2\mu}{1^2+2^2+1^2}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\frac{9\mu-1}{6}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$Der senkrechte Abstand zwischen den Geraden ist:
$$\vec d_\perp=\vec d-\vec d_\parallel=\begin{pmatrix}\mu-1\\3\mu\\2\mu\end{pmatrix}-\frac{9\mu-1}{6}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}6(\mu-1)-(9\mu-1)\\18\mu-2(9\mu-1)\\12\mu-(9\mu-1)\end{pmatrix}$$$$\phantom{d_\perp}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}-3\mu-5\\2\\3\mu+1\end{pmatrix}$$Die minimale Länge dieses Vektors ist der gesuchte Abstand:
$$\left\|\vec d_\perp\right\|^2=\frac{1}{36}\left((-3\mu-5)^2+2^2+(3\mu+1)^2\right)$$$$\phantom{\left\|\vec d_\perp\right\|^2}=\frac{1}{36}\left(9\mu^2+30\mu+25+4+9\mu^2+6\mu+1\right)=\frac{1}{36}\left(18\mu^2+36\mu+30\right)$$$$\phantom{\left\|\vec d_\perp\right\|^2}=\frac{1}{36}\left(18\mu^2+36\mu+18+12\right)=\frac{1}{2}\left(\mu+1\right)^2+\frac{1}{3}$$Das Minimum erreicht \(\vec d_\perp\) bei \(\mu=-1\). Der Abstand der beiden Geraden ist dann \(\frac{1}{\sqrt3}\).
