Ich habe die Aufgabe auch mal bearbeitet. Vergleiche mal die Lösungen: https://docs.google.com/document/d/1B6zIAxSFKZcx9gkm7EHSd2j10_-_fOOkE1bm7Jqg_jY/pub
Kurvenschar: fa(x) = x·(a - LN(x))
Funktion und Ableitungen
fa(x) = x·(a - LN(x))
fa'(x) = - LN(x) + a - 1
fa''(x) = - 1/x
a) Extremstellen f'(x) = 0
- LN(x) + a - 1 = 0
LN(x) = a - 1
x = e^{a - 1}
fa(e^{a - 1}) = e^{a - 1}·(a - LN(e^{a - 1}))
= e^{a - 1}·(a - (a - 1))
= e^{a - 1}
fa''(e^{a - 1}) = - 1/e^{a - 1} < 1
Hochpunkt HP(e^{a - 1} | e^{a - 1})
b) Beweisen sie das keine Wendestellen gibt
fa''(x) = 0
- 1/x = 0
Ein Bruch wird nur Null, wenn der Zähler Null wird. Der kann hier aber nicht Null werden.
c) Untersuchen Sie f auf lim (x → 0) und lim (x → ∞)
lim (x → 0) x·(a - LN(x)) = (a - LN(x)) / (1/x) | Regel von Hospital
lim (x → 0) (- 1/x) / (- 1/x^2) = x = 0
lim (x → ∞) x·(a - LN(x)) = - ∞
d) Bestimmen Sie die Stammfunktion
fa(x) = x·(a - LN(x))
∫ u' * v = [u * v] - ∫ u * v'
Fa(x) = 1/2·x^2·(a - LN(x)) - ∫ 1/2·x^2·(- 1/x) dx
= 1/2·x^2·(a - LN(x)) + ∫ x/2 dx
= 1/2·x^2·(a - LN(x)) + x^2/4
= 1/4·x^2·(1 + 2·a - 2·LN(x))
e) Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f1, der x-Achse und der senkrechten Gerade die durch den Hochpunkt von f1 geht umschlossen wird.
∫ (0 bis 1) fa(x) dx
= F1(1) - F1(0)
= 1/4·1^2·(1 + 2·1 - 2·LN(1)) - (1/4·0^2·(1 + 2·1 - 2·LN(0)))
= 3/4
f) Geben sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von fa und den Koordinatenachsen begrenzt wird, in Abhängigkeit von a an.
Nullstellen fa(x) = 0
x·(a - LN(x)) = 0
a - LN(x) = 0
x = e^a
∫ (0 bis e^a) fa(x) dx
=1/4·(e^a)^2·(1 + 2·a - 2·LN(e^a)) - (1/4·0^2·(1 + 2·a - 2·LN(0)))