Kurvenschar mit ln und Integralrechnung

Question

fa(x)= x*(a-ln(x))

fa´(x)= -1+a-ln(x)

fa´´(x)= -1/x

a) Extremstellen : x-wert: e^{-1+a} , bei der ausrechnung für den y wert kann ich das niciht vereinfachen also bitte ganzen Weg
b)Beweisen sie das keine Wendestellen gibt

c) Untersuchen sie f1 für x--> 0 & x--> ∞ mit begründung (rechnerisch oder schriftlich)

d) bestimmen sie die stammfunktion ( bitte mit rechenweg. Ich weiss, dass es die Produktregel ist doch kann es wieder nicht vereinfachen)

e) Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die im 1.Quadranten vom Graphen von f1, der x-Achse und der senkrechten Gerade die durch den Hochpunkt von f1 umschlossen wird.

f) Geben sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von fa und den Koordinatenachsen begrenzt wird, in Abhängigkeit von a.

Danke schonmal ich versuche mich schon 2 stunden daran...

Comments

  schon einmal ein paar Antworten.

a) " Extremstellen : x-wert: e^-1+a , bei der Ausrechnung für den y wert kann ich
das nicht vereinfachen also bitte ganzen Weg "
  fa ( e^-1+a ) = e^-1+a *(a-ln( e^-1+a ))
  fa ( e^-1+a )  = e^-1+a  * (a - ( -1 + a  )
  fa ( e^-1+a )  = e^-1+a * (a  +1 - a  )
  fa ( e^-1+a )  = e^-1+a
  fa ( e^-1+a )  = e^-1+a

  E ( e^-1+a  l e^-1+a )

b ) Beweisen sie das keine Wendestellen gibt. Der Definitionsbereich ist
wegen ln ( x ) : x > 0

  fa´´ ( x )= -1/x

  Da x immer > 0 ist fa ´´ immer negativ, also immer Rechtskrümmung.
Keine Wendestelle.

c )  Untersuchen sie f1.  a = 1

  f1( x ) = = x * ( 1 - ln ( x ) )

  lim x geht gegen 0(+) : x geht schneller gegen null als ( 1 - ln ( x ) ) gegen
unendlich geht, also : geht gegen 0

  lim x geht gegen unendlch : x geht gegen unendlich,  ( 1 - ln ( x ) ) geht
gegen minus unendlich, also : geht gegen minus unendlich

  mfg Georg

 

 

  mfg Georg

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  d) bestimmen sie die stammfunktion ( bitte mit rechenweg. Ich weiss, dass es die Produktregel ist doch kann es wieder nicht vereinfachen)

  f1 ( x ) = x * ( 1 - ln(x) )
  f1 ( x ) = x - x*ln(x);

  ∫ f1(x) * dx = ∫ x - ∫ x * ln(x) = x^2/2 - ∫ x * ln(x)

  Hier muß die partitielle Integration angewendet werden
  ( falls dir das etwas sagt )

  ∫ u ´ * v = u * v - ∫ u *  v ´
  ∫ x * ln(x) = x^2/2 * ln(x) - ∫ x^2/2 * 1/x
  = x^2/2 * ln(x) - ∫ x/2
  = x^2/2 * ln(x) - x^2 /4

  ∫ f1(x) * dx = ∫ x - ∫ x * ln(x) = x^2/2 - ( x^2/2 * ln(x) - x^2 /4 )
  = 2/4*x^2 - x^2/2 * ln(x) + 1/4*x^2

  = 3/4*x^2 - x^2/2 * ln(x)

  So, müßte stimmen.

  mfg Georg

Answer 1

Ich habe die Aufgabe auch mal bearbeitet. Vergleiche mal die Lösungen: https://docs.google.com/document/d/1B6zIAxSFKZcx9gkm7EHSd2j10_-_fOOkE1bm7Jqg_jY/pub

Kurvenschar: fa(x) = x·(a - LN(x))

 

Funktion und Ableitungen

 

fa(x) = x·(a - LN(x))

fa'(x) = - LN(x) + a - 1
fa''(x) = - 1/x

 

a) Extremstellen f'(x) = 0

 

- LN(x) + a - 1 = 0
LN(x) = a - 1
x = e^{a - 1}

 

fa(e^{a - 1}) = e^{a - 1}·(a - LN(e^{a - 1}))

= e^{a - 1}·(a - (a - 1))

= e^{a - 1}

 

fa''(e^{a - 1}) = - 1/e^{a - 1} < 1

 

Hochpunkt HP(e^{a - 1} | e^{a - 1})

 

b) Beweisen sie das keine Wendestellen gibt

 

fa''(x) = 0

- 1/x = 0

 

Ein Bruch wird nur Null, wenn der Zähler Null wird. Der kann hier aber nicht Null werden.

 

c) Untersuchen Sie f auf lim (x → 0) und lim (x → ∞)

 

lim (x → 0) x·(a - LN(x)) = (a - LN(x)) / (1/x) | Regel von Hospital

lim (x → 0) (- 1/x) / (- 1/x^2) = x = 0

 

lim (x → ∞) x·(a - LN(x)) = - ∞

 

d) Bestimmen Sie die Stammfunktion

 

fa(x) = x·(a - LN(x))

 

∫ u' * v = [u * v] - ∫ u * v'

 

Fa(x) = 1/2·x^2·(a - LN(x)) - ∫ 1/2·x^2·(- 1/x) dx

= 1/2·x^2·(a - LN(x)) + ∫ x/2 dx

= 1/2·x^2·(a - LN(x)) + x^2/4

= 1/4·x^2·(1 + 2·a - 2·LN(x))

 

e) Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f1, der x-Achse und der senkrechten Gerade die durch den Hochpunkt von f1 geht umschlossen wird.

 

∫ (0 bis 1) fa(x) dx

= F1(1) - F1(0)

= 1/4·1^2·(1 + 2·1 - 2·LN(1)) - (1/4·0^2·(1 + 2·1 - 2·LN(0)))

= 3/4

 

f) Geben sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von fa und den Koordinatenachsen begrenzt wird, in Abhängigkeit von a an.

 

Nullstellen fa(x) = 0

 

x·(a - LN(x)) = 0

a - LN(x) = 0

x = e^a

 

∫ (0 bis e^a) fa(x) dx

=1/4·(e^a)^2·(1 + 2·a - 2·LN(e^a)) - (1/4·0^2·(1 + 2·a - 2·LN(0)))