Nullstelle berechnen x^3

Question

Hallo, Ich versuche eine alte Abiturprüfung zu bearbeiten und soll die Nullstellen berechnen von der Funktion f(x)=1/3x^3-3x und die Bereiche angeben in denen der Grapf von f oberhalb der x-Achse verläuft

Comments

Du kannst durch x teilen und dann gibt es mehrere Möglichkeiten eine quadratische Gleichung nach x aufzulösen. Du wirst mehrere Werte für x herausbekommen. Das sind die Nullstellen. Du kannst den Graphen auch zeichnen, dann siehst du wie er aussieht und wann er oberhalb der x-Achse ist und wann unterhalb ;)

Answer 1

0=1/3x³-3x

0=x(1/3x²-3)

x=0 ∨ 1/3x²-3=0

            x²-9=0

x₁=0  x₂=-3  x₃=3

f(1) =1/3-3<0

(-∞,-3) unterhalb der x-Achse; (-3,0) oberhalb der x-Achse; (0,3) unterhalb der x-Achse; (3,∞) oberhalb der x-Achse.

Answer 2

Hallo,

es kommt drauf an ob x³ noch im Nenner ist wenn nicht:

f (x)=1/3 x³ -3x    | x ausklammern

 0=  x( 1/3 x² -3)       eine Nullstelle bei x= 0

0= 1/3 x² -3   | +3

3 = 1/3 x²      | *3 und√

±3 = x_2,3

Mathelounge.de: ~plot~ (1/3)x^3-3x ~plot~

Answer 3

Aloha :)

Forme die Funktionsgleichung etwas um$$f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x=\frac{1}{3}x\left(x^2-9\right)=\frac{1}{3}x(x-3)(x+3)$$und lese die Nullstellen ab: \(x_1=-3\;;\;x_2=0\;;\;x_3=3\).

Der Graph verläuft oberhalb der \(x\)-Achse, wenn \(f(x)>0\) ist:

$$x\in\;]-\infty|-3]\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}\underbrace{x}_{<0}\underbrace{(x-3)}_{<0}\underbrace{(x+3)}_{\le0}\le0$$$$x\in\;]-3|0[\qquad\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}\underbrace{x}_{<0}\underbrace{(x-3)}_{<0}\underbrace{(x+3)}_{>0}>0$$$$x\in\;[0|3]\;\;\,\qquad\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}\underbrace{x}_{\ge0}\underbrace{(x-3)}_{\le0}\underbrace{(x+3)}_{\ge0}\le0$$$$x\in\;]3|\infty[\;\;\;\qquad\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}\underbrace{x}_{>0}\underbrace{(x-3)}_{>0}\underbrace{(x+3)}_{>0}>0$$Oberhalb der \(x\)-Achse verläuft die Funktion für \(-3<x<0\) und für \(x>3\).

~plot~ 1/3*x^3-3x ~plot~