Reihenwert bestimmen

Question

überprüfe die konvergenz der reihe und bestimme ggf. den reihenwert:

1/1*3 + 1/2*4 + 1/3*5 + 1/4*6 + ...

komme dann auf die reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+2)}} \) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2+2n} } \)  ≤ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \) ⇒ konvergiert, da harmonische reihe mit s=2 also nach majorantenkriterium konvergiert auch die ausgangsreihe.
wie ich nun den reihenwert bestimme ist mir aber nicht klar bzw. ob das überhaupt geht...
worauf muss ich dabei achten und wie schreib ichs dann auf?

Answer 1

1/(n·(n + 2)) = 0.5/n - 0.5/(n + 2)

Lässt sich hier nichts über die Teleskopsumme machen

(0.5/n - 0.5/(n + 2)) + (0.5/n - 0.5/(n + 2)) + (0.5/n - 0.5/(n + 2)) + ...

(0.5/1 - 0.5/(1 + 2)) + (0.5/2 - 0.5/(2 + 2)) + (0.5/3 - 0.5/(3 + 2)) + ...

(0.5/1 - 0.5/3) + (0.5/2 - 0.5/4) + (0.5/3 - 0.5/5) + ...

0.5/1 + 0.5/2 = 3/4

Answer 2

Hallo

 zerlege 1/(n*(n+2)) in A/n+B/(n+2) dann siehst due eine "Telskopsumme" und kannst ausrechnen.

Gruß lul