Zeigen Sie, dass f in 0 diffbar ist und gilt f(0) = 1. zz.f ist auf keinem offenen intervall invertierbar

Question

Sei f : ℝ → ℝ definiert vermöge f (x) = x + 2x² sin (\( \frac{1}{x} \))   für x ≠ 0 und f (0) = 0.

a) Zeigen Sie, dass f in 0 differenzierbar ist und dass gilt f' (0) = 1.
b) Zeigen Sie, dass f auf keinem offenen Intervall, das 0 enthält, invertierbar ist.

Answer 1

a) $$ \lim_{h\to 0} \frac{f (0+h)-f (0)}{h} =\lim_{h\to 0} 1 + 2h\sin\left(\frac{1}{h}\right) = 1$$

b) Berechne die Ableitung:

$$f'(x)=4x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - 2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) + 1 $$

für \(x\neq0\). Jetzt könnte man eine Nullfolge \( (x_n)\) suchen, s.d. \( f' (x_n) \)  abwechselnd ungefähr 3 und -1 annimmt (betrachte nur die letzten beiden Summanden, der erste geht gegen 0).

Wenn du jetzt eine Umgebung der 0 betrachtest liegt die Nullfolge ab irgendeinem Index komplett darin. Angenommen die Funktion wäre jetzt darauf invertierbar, dann müsste sie bijektiv, also Injektiv und surjektiv, sein. f ist aber stetig, d.h. Injektivität impliziert strenge Monotonie, jetzt sind aber Folgenglieder \(x_k\) mit \( f'(x_k)>0 \) und \( f'(x_k)<0 \) in der Umgebung. Widerspruch, denn f kann somit weder streng monoton fallend noch wachsend sein.