Bildungsvorschrift der folge

Question

Aufgabe: Bilden Sie die Bildungsvorschrift der Folge: (2,1,-3,-2/3,1/2,9,-4/27,-3/8....)

Problem/Ansatz

Mein Problem ist, dass es keine Regelmäßigkeit im Nenner gibt und das Vorzeichen keinen stetigen Wechsel hat...

Answer 1

Das Problem ist nicht das Finden EINER Bildungsvorschrift (denn zu jeder endlichen Folge gibt es unendlich viele, wenn keine Randbedingungen angegeben sind), sondern das Finden derjenigen, an der der Aufgabensteller gedacht hat (dass es die EINZIGE sei).

Hier eine explizite Funktion:

f(x)=2 + (-1 + x) (-1 + (-2 + x) (-(3/2) + ((-3 + x) (64981560 +
          x*(-42535106 + x*(10548229 + 5 x*(-230966 + 9367*x)))))/ 1088640))

... es könnte also mit 14116/27 weitergehen...

Gerd

Comments

Wohl eher nicht  dass es die EINZIGE sei , sondern dass es diejenige sei, auf die man in angemessener Zeit ohne Rechenmaschine kommen kann.

Hier z.B. a(n+3) = a(n) / (a(n+1) * a(n+2)) , womit die Folge durch 162 sinnvoll fortgesetzt würde.

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f(x)=2 + (-1 + x) (-1 + (-2 + x) (-(3/2) + ((-3 + x) (64981560 +
        x*(-42535106 + x*(10548229 + 5 x*(-230966 + 9367*x)))))/ 1088640))

Wie kommt man auf sowas?

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Sieht mir nach Polynominterpolation aus.

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zu " in angemessener Zeit ohne Rechenmaschine kommen kann":
Ich habe in meinem Leben schon so viele Zahlenfolgen durch, dass ich für etwa 8 Algorithmen fertige Tools habe, die sofort das Ergebnis ausspucken, da dahinter eine feste Logik steckt.

Hingegen sind solche "selbst ausgedachten Folgen" meist Sonderfälle, die vieles Herumprobieren und Glück benötigen. Ein Lehrer, der immer nur "die selbe Aufgabe" stellt, sieht das natürlich sofort, aber andere sehen 10 andere mögliche Wege, die fast alle schnell kompliziert werden und nicht zu diesen einen einfachen Spezialfall führen. Warum ist eine Einschränkung der Randbedingungen so schwer für den Aufgabensteller?

Übrigens ist die Vorgabe von 3 "Stützstellen" in meinen Augen "uncool".

(also dem Algorithmus die ersten 3 Glieder mit "vorsagen")

Wo ist dann die Grenze? Dann kann man gleich 6 Stück mit angeben und was primitives Passendes für das letzte Glied mit angeben...

zu "Wie kommt man auf so etwas?":

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation

Einfach unter http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html

eingeben

y[i]: 2., 1., -3., -0.666666666666667, 0.5, 9., -0.148148148148148, -0.375

und je nach 1. Index (hier soll Folge z.B. bei Index 1 beginnen, also ):
x[i]: 1,2,3,4,...

ergibt das:

-77359/216+x*27050501/30240-pow(x,2)*6590699/7776+pow(x,3)*12661477/31104-pow(x,4)*848633/7776+pow(x,5)*1285171/77760-pow(x,6)*641/486+pow(x,7)*9367/217728

Wer die Schreibweise nicht mag einfach bei Wolframalpha eingeben:

https://www.wolframalpha.com/input?i=-77359%2F216%2Bx*27050501%2F30240-pow%28x%2C2%29*6590699%2F7776%2Bpow%28x%2C3%29*12661477%2F31104-pow%28x%2C4%29*848633%2F7776%2Bpow%28x%2C5%29*1285171%2F77760-pow%28x%2C6%29*641%2F486%2Bpow%28x%2C7%29*9367%2F217728

ergibt das von mir eingefügte Polynom.