Kommutativität für die Gruppe Sn

Question

Aufgabe:

Die symmetrische Gruppe Sn ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht.

Zu zeigen:

n<=2→Sn ist kommutativ

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass diese Aussage gelten muss. Ich habe es auch schon mit einem Beispiel überprüft und gesehen, dass für n<=2 die kommutativität erfüllt ist, weil beides gleich abgebildet wird. Aber wie kann ich dies formell aufschreiben? Ein Beispiel ist ja noch kein Beweis. Über einen Tipp wäre ich super dankbar. Habs auch schon mit Widerspruchsbeweis versucht aber will alles nicht so richtig...

Comments

und wie schreibe ich diese formell auf?

Habe ja dann die fälle

	1 2 1 2

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Die Elemente von S₂ sind in Zykelschreibweise (1)(2) und (1 2), nicht 1 und 2.

•	(1)(2)	(1 2)
(1)(2)	(1)(2)•(1)(2)	(1)(2)•(1 2)
(1 2)	(1 2)•(1)(2)	(1 2)•(1 2)

Answer 1

Erstelle Verknüpfungstabellen.

Comments

und wie schreibe ich das dann formell auf?

Habe ja dann die Fälle:

	1	2
1
2

---

Die Elemente von S₂ sind in Zykelschreibweise (1)(2) und (1 2), nicht 1 und 2.

•	(1)(2)	(1 2)
(1)(2)	(1)(2)•(1)(2)	(1)(2)•(1 2)
(1 2)	(1 2)•(1)(2)	(1 2)•(1 2)

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okay ich verstehe. Aber kann ich dann irgendwelche Ergebnisse angeben oder ist das bereits das Resultat?

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Offensichtlich ist

        (1)(2)•(1)(2) = (1)(2)•(1)(2)

und

        (1 2)•(1 2) = (1 2)•(1 2).

Für die Kommutativität muss aber noch

        (1 2)•(1)(2) = (1)(2)•(1 2)

gelten. Das müsstest du noch nachweisen.

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Alles klar. Vielen Dank für die Hilfe. Das bekomme ich hin.

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Und gibt's eigentlich S₁ und S₀? Es ist ja n ≤ 2 vorausgesetzt, und nicht nur n = 2.

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stimmt das heißt dies muss auch noch gezeigt werden oder?

Aber So ist ja dann einfach die Leere Menge

und S1 besteht ja nur aus aus einem Element das auf ein anderes abbildet.

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Verstehe ich das richtig das (12) bedeutet, dass es zwei Elemente gibt und (1)(2) ist jeweils ein Element?

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Aber So ist ja dann einfach die Leere Menge

Dann wäre So keine Gruppe und die Frage nach Kommutativität ergibt in diesem Fall keinen Sinn.

und S1 besteht ja nur aus aus einem Element das auf ein anderes abbildet.

Es gibt kein anderes. Das Element wird auf sich selbst abgebildet.

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Aber worin liegt dann der Unterschied zwischen S0 und S1?

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Ich finde keinen. Ich vermute deshalb, dass S_n nur für n > 0 definiert ist.

Verstehe ich das richtig das (12) bedeutet, dass es zwei Elemente gibt und (1)(2) ist jeweils ein Element?

(1 2) bedeutet, dass die 1 auf die 2 abgebildet wird.

Allgemein bedeutet (a₁ a₂ ... a_n), dass a₁ auf a₂ abgebildet wird, a₂ auf a₃ usw. und schließlich a_n auf a₁ abgebildet wird.