Eistüte: Ermittelt den Winkel Alpha, für den sich ein maximales Tütenvolumen ergibt....

Question

Aufgabe „Die Eistüte“:

Eine optimale Eistüte ist eine Tüte, die möglichst viel Eis fasst (und dazu auch noch gut schmeckt) Unsere Eistüte ist leider nur aus Papier:
Öffrungswinkel \( \alpha \) aus und bastelt daraus mit einem Klebestreifen eine kegelförmige Tüte.

Aufgaben:

1. Ermittelt den Winkel \( \alpha \), für den sich ein maximales Tütenvolumen ergibt. Beim Basteln der Tüte bekommt inr ein Abfallstück, aus dem inr - klar! - eine weitere Tüte klebt Nun habt inr zwei Eistüten; schlauerweise füllt inr beide.

2. Bestimmt \( \alpha \) so, dass die Summe der beiden Tütenvolumen maximal wird.

3. Berechnet, wie viel Prozent mehr Eis inr bei dieser Lösung erhaltet gegenüber der, bei der inr die Kreisscheibe mittig teilt (also \( \alpha=180^{\circ} \)).

Answer 1

maximales Tütenvolumen

Die Tüte ist ein Kegel. Für dessen Volumen V gilt

(1)        V = 1/3·G·h.

Ermittelt den Winkel α,

Die Idee ist, in (1) die fehlenden Größen G und h mittels α auszudrücken und dann den Hochpunkt zu bestimmen.

Den Radius der Kreisscheibe nenne ich s.

Die Länge u des Kreisbogens ist

        u = α/180·π·s.

Das ist auch der Umfang der Grundfläche des Kegels. Für den Radius r dieser Grundfläche gilt dann

        α/180·π·s = 2·π· r

also

(2)        r = α/360·s.

und somit

(3)        G = π·(α/360·s)².

Mittels Pythagoras bekommt man für die Höhe h des Kegels

        h² + r² = s²

also

        h² + (α/360·s)² = s²

wegen (2) und somit

(4)        h = √(s² - (α/360·s)²).

Einsetzen von (3) und (4) in (1) ergibt

        V_s(α) = 1/3·π·(α/360·s)²·√(s² - (α/360·s)²).

Bestimme den Hoichpunkt dieser Funktion.