Sei n ∈ N. Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

Question

Guten Nachmittag!

Ich hätte folgende Frage bzgl. Linearer Algebra:

Sei n ∈ ℕ. Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

(1) Φ: Kⁿ → K, (x_{1 , ... ,} x_n) → x₁ •...• x_n

(2) ψ: Kⁿ → K^n-1, (x₁ , ... , x_n) → (x₁ , ... , x_n-1) 

(3) Seien X, Y Mengen und ω: Y → X eine Abbildung: ω^* : Abb. (X , ℝ) →Abb. (Y , ℝ),    f → f ° ω

Ich weiß, dass man f(x+y) = f(x) + f(y) und f(ax) =  a f(x) prüfen muss, aber irgendwie scheitere ich an der Umsetzung...

Aqua_Supera

Answer 1

(1) Prüfe ob

        Φ(x₁+y₁, ... , x_n+y_n) = Φ(x₁, ... , x_n) + Φ(y₁, ... , y_n)

ist, ob also

        (x₁+y₁) •...• (x_n+y_n) = (x₁ •...• x_n) + (y₁•...•y_n)

ist.

Tipp. Φ ist nicht linear. Gib für den Fall n=2 konkrete x₁, ... , x_n und y₁, ... , y_n an, die die Linearität widerlegen.

(2) ψ ist linear. Bastel dazu aus

        ψ(x₁+y₁, ... , x_n+y_n) = ψ(x₁, ... , x_n) + ψ(y₁, ... , y_n)

und

        ψ(ax₁, ... , ax_n) = aψ(x₁, ... , x_n)

Gleichungen wie unter (1) und weise nach dass sie gültig sind.

Comments

Entschuldige die späte Antwort. Hat mir sehr geholfen, dankeschön. :)