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Geben Sie zu den folgenden Potenzreihen bezüglich der allgemeinen Form k=0ak(xx0)k \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} jeweils die Koeffizienten ak, a_{k}, die Entwicklungsstelle x0 x_{0} und den zugehörigen Konvergenzradius ρ \rho an:
(a) 12x+4!(1+2x)222+5!(1+2x)333+6!(1+2x)444+ 12 x+\frac{4 !(1+2 x)^{2}}{2^{2}}+\frac{5 !(1+2 x)^{3}}{3^{3}}+\frac{6 !(1+2 x)^{4}}{4^{4}}+\cdots
(b) 5!33(x42)3+5!44(x42)4+5!55[x42)5+ 5 ! \cdot 3^{3} \cdot\left(\frac{x}{4}-2\right)^{3}+5 ! \cdot 4^{4} \cdot\left(\frac{x}{4}-2\right)^{4}+5 ! \cdot 5^{5} \cdot\left[\frac{x}{4}-2\right)^{5}+\dots
(c) n=3(xsin23n)2n \sum \limits_{n=3}^{\infty}\left(x \cdot \sin \frac{2}{3 n}\right)^{2 n}
(d) m=2m16+m(2x+2)3m+4 \sum \limits_{m=2}^{\infty} \frac{m-1}{6+m} \cdot(2 x+2)^{3 m+4}


Problem/Ansatz:

zu a): wie kann ich umformen um auf die allgemeine form zu kommen? x0 müsste ja -1/2 sein wenn ich mich nicht irre...
hatten ein beispiel dazu das ich nachvollziehen kann allerdings mit x als 1. summand und nicht 12x und mit 1! im 1. zähler und nicht 4!. das verwirrt mich irgendwie...
zu b): bekomme ich n=35!(n/4)n \sum\limits_{n=3}^{\infty}{5!(n/4)^n} * (x-8)^n raus sowie q=∞ und ρ=0 also konvergiert es nur für x0 =8 ..
zu c) und d) fehlt mir wieder jeglicher ansatz und ich wäre für einen lösungsweg sehr dankbar :(

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