Welche der folgenden Funktionen ist multilinear (also linear in jedem Argument)?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Funktionen ist multilinear (also linear in jedem Argument)? Geben Sie
wie üblich genaue, kleinschrittige Begründungen.
(a) f : ℝ² → ℝ, (x, y)^T→ xy;
(b) g : ℝ³ → ℝ, (x, y, z)^T→ xyx + yzy + zxz;
(c) h : ℝ³ → ℝ³, (x, y, z)^T→ (z, y, x)^T;

Answer 1

Aloha :)

$$f(x_1+x_2,y)=(x_1+x_2)y=x_1y+x_2y=f(x_1,y)+f(x_2,y)\quad\checkmark$$$$f(\lambda x,y)=(\lambda x)y=\lambda(xy)=\lambda\,f(x,y)\quad\checkmark$$$$f(x,y_1+y_2)=x(y_1+y_2)=xy_1+xy_2=f(x,y_1)+f(x,y_2)\quad\checkmark$$$$f(x,\lambda y)=x(\lambda y)=\lambda(xy)=\lambda\,f(x,y)\quad\checkmark$$Die Abbildung erfüllt die Linearitätsbdingungen in allen Komponenten, daher ist \(f\) multilinear.

$$g(1,0,0)=0\;;\;g(0,0,1)=0\;;\;g(1,0,1)=1\quad\Rightarrow$$$$g(1,0,1)\ne g(1,0,0)+g(0,0,1)$$Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass \(g\) nicht linear ist.

$$\begin{pmatrix}z\\y\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$Da wir für \(h\) eine Abbildungsmatrix angeben können, ist \(h\) linear in jeder Komponente.

Comments

Geiler Scheiß

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Wie würdest du es für h auf die gleiche Art wie für f zeigen ?

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$$f((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)^T)=\begin{pmatrix}z_1+z_2\\y_1+y_2\\x_1+x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z_1\\y_1\\x_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}z_2\\y_2\\x_2\end{pmatrix}=f((x_1,y_1,z_1)^T)+f((x_2,y_2,z_2)^T)$$$$f(a(x,y,z))=\begin{pmatrix}az\\ay\\ax\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}z\\y\\x\end{pmatrix}=a\cdot f((x,y,z)^T)$$