Lineare Abbildung von R^2 -> R^3 wieso nicht möglich?

Question

Aufgabe:

Wieso kann man R -> R^2 abbilden,

aber R^2 -> nicht in R^3?

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand ein Beispiel geben?

Answer 1

Natürlich kann man den \(\mathbb{R}^2\) in den \(\mathbb{R}^3\) abbilden. Wähle z. B. \(\varphi : \begin{cases}\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \\ \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a+b\\0\\0 \end{pmatrix}\end{cases}\). Diese Abbildung ist linear.

Comments

Achso, ich glaube einfach bei meinem Beispiel war es so, dass die Abbildung wegen der Addivität und Homogenität nicht funktioniert.

Vielen Dank.

Answer 2

Eine lineare Abbildung von R^2 nach R^3 ist schon möglich, allerdings keine

bei der das Bild der ganze R^3 ist, wegen der Dimensionsformel.

Von R nach R^2 ist das auch nicht möglich.