Injektivität und Surjektivität f : N -> Z

Question

 f : ℕ → ℤ,  f(x) = { x,   x ist gerade

                            -x,  x ist ungerade

Die Funktion soll auf Injektivität und Surjektivität bzw. Bijektivität geprüft werden. An sich weiß ich wie man das macht, aber das  f : ℕ → ℤ verwirrt mich ein bisschen. Für Injektivität muss ja x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2) sein. Für Surjektivität  f(x) = y. Meine Frage ist, was muss ich hier beachten bzw. anders machen?

Comments

Hier ist \(f(x) \equiv (-1)^x \cdot x\).

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Wie kommt man denn darauf?

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(-1)^x = 1 falls x gerade, d.h. 1 * x = x.
(-1)^x = -1 falls x ungerade, d.h. (-1) * x = -x.

So genau sieht die Fallunterscheidung aus.

Answer 1

Für Injektivität muss ja x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2) sein.

Für Injektivität muss f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 sein für alle x1, x2 ∈ ℕ sein.

Seien x1, x2 ∈ ℤ mit f(x1) = f(x2). Begründe, warum dann auch x1 = x2 ist.

Für Surjektivität  f(x) = y

Das ist viel zu verkürzt dargestellt.

Für Surjektivität muss es zu jedem y ∈ ℤ ein x ∈ ℕ geben, so dass f(x) = y ist.

Sei y = 1. Dann gibt es kein x ∈ ℕ mit f(x) = y.

Comments

Also ich dachte mir eigentlich ich mache das mit einer Fallunterscheidung für x und -x. Die Injektivität habe ich auch bewiesen für x und -x, aber ich komme leider immer noch nicht bei der Surjektivität weiter.

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Zur Surjektivität: Begründe dass es kein x ∈ ℕ gibt, so dass f(x) = 1 ist.