Teilmengen bzw. Mengen

Question

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe auf die Sprünge helfen bzw. zeigen, wie ich vorgehen sollte?

Für welche Mengen X gilt {1,2}echte Teilmenge X ⊂{1,2,3,4,5}?

Also {1,2} sind echte Teilmengen von X und X ist echte Teilmenge von {1,2,3,4,5}.

Meine Idee (damit ihr nicht denkt, dass ich mich nicht damit auseinandergesetzt habe und aus Faulheit frage):

Dann sollten die Mengen ja: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {}, {1,2,3,4,5} sein, oder?

Im Anschluss soll ich noch:  P(P(∅)) durch Aufzählen der Elemente angeben. Wäre sehr dankbar!

Answer 1

Du sollst alle Mengen X mit

$$ \{1,2\} \subsetneq X \subseteq \{1,2,3,4,5,6\} $$

bestimmen, das heißt in X liegen auf jeden Fall die Elemente 1 und 2 sicher, aber es muss noch ein weiteres Element in X liegen (echte Teilmenge). Andererseits können in X nur die Zahlen 1 bis 6 liegen.

Versuche jetzt nochmal die Mengen aufzuschreiben, {1,2,3} ist zB möglich oder {1,2,4,6}.

Die Potenzmenge der leeren Menge ist:$$ \mathcal{P}( \emptyset ) =\{\emptyset \} $$ Also die Menge die gerade die leere Menge als Element enthält. Welche Teilmengen hat diese?

Comments

Die Mengen wären dann: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,2,4,5}, {1,2,4,6}, {1,2,5,6} oder?

Also die Elemente 1 und 2 liegen sicher in X, aber warum muss noch ein weiteres Element in X liegen? Und heißt das, dass die Anführung von {1,2} als Menge nicht richtig wäre? Und {1} und {2}? Tut mir Leid, falls das dumme Fragen sind, aber ich hab mit dem Thema erst angefangen und steh heute komplett auf der Leitung...

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Die Mengen sehen schon viel besser aus, aber du hast eine vergessen.

Also die Elemente 1 und 2 liegen sicher in X, aber warum muss noch ein weiteres Element in X liegen?

{1, 2} ist Teilmenge von X bedeutet: 1 und 2 liegen in X

{1, 2} ist echte Teilmenge von X bedeutet: {1, 2} ist Teilmenge von X, aber {1, 2} ist nicht gleich X. Da es nicht gleich sein darf und 1, 2 in X sein müssen, braucht man eben noch ein weiteres Element.

Und heißt das, dass die Anführung von {1,2} als Menge nicht richtig wäre? Und {1} und {2}?

Diese Mengen kommen für X nicht in Frage. Die Mengen {1} und {2} haben nicht die Teilmenge {1, 2} und {1, 2} ist eben gleich {1, 2} aber {1, 2} soll eine echte Teilmenge sein.

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Welche habe ich denn vergessen? Die leere Menge?

Vielen Dank für deine Hilfe! Jetzt versteh ich es!

Und beim  P(P(∅)) durch Aufzählen der Elemente angeben - hier ist doch als Antwort: Die Potenzmenge der leeren Menge enthält genau ein Element, nämlich die leere Menge selbst, oder?

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Oh. Soll X auch echte Teilmenge von {1,2,3,4,5,6} sein? Falls ja fehlt keine Menge.

Falls X nur Teilmenge von {1,2,3,4,5,6} sein muss, ist auch noch X={1,2,3,4,5,6} möglich.

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Ok, super, danke! Aber die leere Menge kommt auch dazu, oder?

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Sind 1, 2 Elemente der leeren Menge? Nein, also kann X nicht die leere Menge sein.

Zu b) Die Potenzmenge der leeren Menge enthält nur die leere Menge als Element

$$ \mathcal{P}( \emptyset ) =\{\emptyset \} $$

die Potenzmenge davon ist

$$ \mathcal{P}(\mathcal{P}( \emptyset )) =\{\emptyset, \{\emptyset \} \} $$

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ich danke dir wirklich vielmals!