Question

Man entscheide ob die folgenden Reihen konvergieren:

(1) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)} \)

(2) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2}}{\left(1+a^{2}\right)^{n}} \) für \( a \in \mathbb{R}, a \neq 0 \),

(3) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}+3^{n}}{6^{n}} \)

(4) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} \)

Ansatz:

Ich muss das doch mithilfe der Partialsumme Sn machen, aber wie genau bilde ich diese?

Comments

Und 4? Ist das vielleicht eine Hilfe:
https://www.mathelounge.de/4432/zu-zeigen-lim-n%E2%86%92%E2%88%9E-n-n-n-0

??

Answer 1

$$(1)\small\sum_{n=1}^N\frac1{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)=\frac12\left(1-\frac1{2N+1}\right).$$Daraus folgt Konvergenz.$$(2)\small\sum_{n=0}^\infty\frac{a^2}{(1+a^2)^n}=a^2\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{1+a^2}\right)^n.$$Hier hat man eine geometrische Reihe. Aus \(0<\frac1{1+a^2}<1\) folgt Konvergenz.$$(3)\small\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n+3^n}{6^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac13\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac12\right)^n.$$Hier hat man die Summe zweier konvergenter geometrischer Reihen. Daraus folgt Konvergenz.