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Man entscheide ob die folgenden Reihen konvergieren:

(1) n=11(2n1)(2n+1) \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}

(2) n=0a2(1+a2)n \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2}}{\left(1+a^{2}\right)^{n}} für aR,a0 a \in \mathbb{R}, a \neq 0 ,

(3) n=1(2)n+3n6n \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}+3^{n}}{6^{n}}

(4) n=1n!nn \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}}

Ansatz:

Ich muss das doch mithilfe der Partialsumme Sn machen, aber wie genau bilde ich diese?

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(1)n=1N1(2n1)(2n+1)=12n=1N(12n112n+1)=12(112N+1).(1)\small\sum_{n=1}^N\frac1{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)=\frac12\left(1-\frac1{2N+1}\right).Daraus folgt Konvergenz.(2)n=0a2(1+a2)n=a2n=0(11+a2)n.(2)\small\sum_{n=0}^\infty\frac{a^2}{(1+a^2)^n}=a^2\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{1+a^2}\right)^n.Hier hat man eine geometrische Reihe. Aus 0<11+a2<10<\frac1{1+a^2}<1 folgt Konvergenz.(3)n=1(2)n+3n6n=n=1(13)n+n=1(12)n.(3)\small\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n+3^n}{6^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac13\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac12\right)^n.Hier hat man die Summe zweier konvergenter geometrischer Reihen. Daraus folgt Konvergenz.
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