Wie bestimme ich dieses Fundamentalsystem ohne Eigenvektoren?

Question

Hi, ich habe mal eine kurze Frage zu der Lösungsmenge dieser Gleichung:

y^III-y^II-y^I+y=0

EW: (-1) (alg. Vfh. 1), (1)(alg. Vfh 2)

Jetzt verstehe ich nicht so recht, wie die Lösungen für das Fundamentalsystem zustanden kommen:

φ₁(x)=e^x

φ₂(x)=xe^x

φ₃(x)=e^-x

Die Lösungen sollten doch eigentlich von der Form φ(t) :=e^λtv (wobei v ein Eigenvektor ist) aber was für EIgenvektoren soll ich hier berechnen?

LG

Answer 1

Aloha :)$$\frac{d}{dx}\begin{pmatrix}y\\y'\\y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y'\\y''\\y'''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y'\\y''\\-y+y'+y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\y'\\y''\end{pmatrix}$$Die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix sind:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Der Eigenwert \(\lambda_2=1\) ist doppelt. Das liefert die Lösung:$$\vec y(x)=Ae^{\lambda_1x}\vec v_1+(B+Cx)e^{\lambda_2x}\vec v_2$$Insbesondere für die erste Komponente, also das eigentliche \(y\), gilt dann:$$y(x)=A\,e^{-x}+(B+Cx)e^x=Ae^{-x}+B\,e^x+C\,xe^{x}$$Darin findest du die 3 angegebenen Lösungen wieder.

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Vielen Dank:)