Matrix ohne reelle Eigenwerte und Eigenvektoren. Komplex und komplex konjugierter Eigenwert.

Question

Aufgabe:

Sei A∈ℝ^2x2 gegeben ohne reelle Eigenwerte, d.h. λ=α+iβ und λ(konjugiert)=α-iβ sind die Eigenwerte von A und v Eigenvektor zu λ.

Zeigen sie, dass v(konjugiert) Eigenvektor zu λ(konjugiert) von A ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe zwar schon, was ich grundsätzlich machen soll, aber ich habe absolut keine Idee, wie ich es zeigen kann. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Answer 1

Hallo,

also nehmen wir an, dass \( Av = \lambda v \) ist, so wollen wir zeigen, dass \( Av^* = \lambda^* v^* \) ist.

Weil \( A \) reell ist, können wir

\( Av^* = A^* v^* = (Av)^* = (\lambda v)^* = \lambda^* v^* \)

berechnen (und sind fertig).

Grüße

Mister