Aloha :)
a) Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) gibt hier in der Aufgabe an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Gespräch weniger als \(x\) Minuten dauert. Da die maximale Gesprächsdauer \(x=7\) Minuten beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gespräch weniger als \(7\) Minuten dauert genau \(1\), das heißt \(F(7)=1\). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepsräch \(x=0\) Minuten dauert ist gleich \(0\), denn dann gibt es ja gar kein Gespräch, das heißt \(F(0)=0\).
Wir wissen weiter, dass die Verteilungsfunktion \(F(x)\) im Intervall \([0|7]\) linear ansteigt, es handelt sich also um eine Gerade. Mit \(F(7)=1\) und \(F(0)=0\) kennen wir zwei Punkte dieser Geraden und können daraus die Geradengleichung aufstellen:$$F(x)=\frac{F(7)-F(0)}{7-0}\cdot x+F(0)=\frac{1-0}{7-0}\cdot x+0=\frac{1}{7}x$$
~plot~ 1/7*x*(x<=7) ; [[0|8|0|1]] ~plot~
Der Wert \(F(1)=\frac{1}{7}\approx14,3\%\) bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine maximale Gesprächsdauer von \(1\) Minute bei \(14,3\%\) liegt. Die Dichtefunktion \(f(x)\) ist die Ableitung der Veteilungsfunktion \(F(x)\), das heißt:$$f(x)=F'(x)=\frac{1}{7}$$
~plot~ 1/7*(x<=7) ; [[0|8|0|0,2]] ~plot~
b) Die Wahrscheinlichkeit \(F(1<x<7)\), dass ein Gespräch zwischen \(1\) und \(7\) Minuten dauert, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal \(7\) Minunten dauert minus der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal \(1\) Minute dauert. Wegen \(F(7)=1\) bedeutet das:$$F(1<x<7)=F(x=7)-F(x=1)=F(7)-F(1)=1-F(1)$$
