Brauche nur noch (4). Wer kann diese alte Frage aus einer Prüfung lösen?
Wir betrachten auf \( \mathbb{R}^{2 n} \) die bezüglich der Standardbasis durch die Blockmatrix
$$ B:=\left(\begin{array}{cc} 0 & E_{n} \\ E_{n} & 0 \end{array}\right) $$
gegebene Bilinearform \( \Phi \)
(1) Wie zeige ich, dass \( \Phi \) eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform ist. Gibt es isotrope Vektoren?
(2) Wie gebe ich die Signatur von \( \Phi \) an.
Hinweis: Versuchen Sie zuerst den Fall \( n=1 \)
(3) Es sei \( \mathrm{O}(n, n):=\mathrm{Iso}\left(\mathbb{R}^{2 n}, \Phi\right) \) die Isometriegruppe von \( \left(\mathbb{R}^{2 n}, \Phi\right) . \) Wie zeige ich: \( \operatorname{det} A=\pm 1 \) für alle \( A \in \mathrm{O}(n, n) \)
(4) Wie zeige ich, dass für alle \( 0 \neq t \in \mathbb{R} \) die Matrix
$$ R_{t}:=\left(\begin{array}{cc} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{array}\right) $$
in \( \mathrm{O}(1,1) \) liegt, und dass die Abbildung
$$ \mathbb{R}^{\times} \rightarrow \mathrm{O}(1,1): t \mapsto R_{t} $$
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Ist es ein Isomorphismus?
