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Hat jemand eine Ahnung, wie man am besten bei dieser Aufgabe vorgehen könnte?

Sei
$$ \begin{array}{l} f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \\ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ w \end{array}\right) \\ \rightarrow\left(\begin{array}{c} y+z+2 w \\ z+w \\ y+z+2 w \\ y+w \end{array}\right) \end{array} $$

Geben Sie Basen an, sodass \( f \) bezüglich dieser Basen der Multiplikation mit
$$ B=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
entspricht.


Aqua_Supera

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Beste Antwort

Bezüglicher der Standardbasis S gilt:

$$ M_S(f) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} $$

Bestimme davon den Kern, also erst einmal auf strenge Zeilenstufenform bringen:

$$ M_S(f) \sim \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0&0&0&0\end{pmatrix} $$

Mit dem-1 Trick erhältst du die Basisvektoren \( k_1 = (-1,0,0,0)^T \) und \( k_2 =( 0,1,1,-1)^T \). Die ergänzen wir jetzt zu einer Basis des \( \mathbb{R}^4 \): \( \mathcal{B} = (v_1, v_2, k_1, k_2) \). Die Vektoren \( v_1 = (0,1,0,0)^T, v_2 = (0,0,1,0)^T \) gehen zum Beispiel.

Jetzt brauchen wir noch die dazu passende zweite Basis, nennen wir sie mal \( \mathcal{C} = (w_1,w_2,w_3,w_4) \). Es soll gelten:

$$ M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{pmatrix} $$ d.h. $$ f(v_1) = 1w_1 + 0w_2 + 0w_3 + 0w_4= (1,0,1,1)^T\\ f(v_2) = 0w_1 + 1w_2 + 0w_3 + 0w_4= (1,1,1,0)^T $$

An \( w_3 \) und \( w_4 \) werden keine weiteren Bedingungen erstellt, also reicht es diese einfach so zu wählen, dass eine Basis entsteht, \( w_3 = (0,0,1,0)^T \) und \( w_4 = (0,0,0,1)^T \) funktionieren.

Avatar von 6,0 k

Dankeschön für die ausführliche Antwort!

Eine kurze Frage noch: Das heißt jetzt, dass die gesuchte Basis aus w1 bis w4 besteht? War nur kurz verwirrt, weil weiter oben die Basis aus v1 , v2 , k1 und k2 besteht; aber das ist ja nur der Zwischenschritt, richtig?

Du brauchst zwei unterschiedliche Basen. Die eine ist (v1, v2, k1, k2) und die andere (w1, ..., w4)

Alles klar danke!

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Hallo

 der erste Basisvektor muss 0 der ersten Spalte sein, der zweite gleich der zweiten Spalte

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Dankeschön für die schnelle Antwort. Könntest Du nochmal kurz ausführen, was Du genau meinst? Tue mir etwas schwer, deine Nachricht zu interpretieren.

Gruß Aqua_Supera

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