Bezüglicher der Standardbasis S gilt:
$$ M_S(f) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} $$
Bestimme davon den Kern, also erst einmal auf strenge Zeilenstufenform bringen:
$$ M_S(f) \sim \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0&0&0&0\end{pmatrix} $$
Mit dem-1 Trick erhältst du die Basisvektoren \( k_1 = (-1,0,0,0)^T \) und \( k_2 =( 0,1,1,-1)^T \). Die ergänzen wir jetzt zu einer Basis des \( \mathbb{R}^4 \): \( \mathcal{B} = (v_1, v_2, k_1, k_2) \). Die Vektoren \( v_1 = (0,1,0,0)^T, v_2 = (0,0,1,0)^T \) gehen zum Beispiel.
Jetzt brauchen wir noch die dazu passende zweite Basis, nennen wir sie mal \( \mathcal{C} = (w_1,w_2,w_3,w_4) \). Es soll gelten:
$$ M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ d.h. $$ f(v_1) = 1w_1 + 0w_2 + 0w_3 + 0w_4= (1,0,1,1)^T\\ f(v_2) = 0w_1 + 1w_2 + 0w_3 + 0w_4= (1,1,1,0)^T $$
An \( w_3 \) und \( w_4 \) werden keine weiteren Bedingungen erstellt, also reicht es diese einfach so zu wählen, dass eine Basis entsteht, \( w_3 = (0,0,1,0)^T \) und \( w_4 = (0,0,0,1)^T \) funktionieren.
