Wisst ihr wie man weitermachen kann (Anfangswertproblem)?

Question

könnte mir bitte jemand bei diesem Anfangswertproblem helfen?:

$$y`=\frac{1+y^{2}}{y(2x+x^{2})}$$  $$y(1)=1$$

Normalerweise konnte ich immer die Formel y=Φy₀₊y_p anwenden können, habe aber jetzt bei dieser Aufgabe keinen wirklichen Ansatz.

Wisst ihr wie man weitermachen kann?

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Aloha :)

$$\left.y'=\frac{1+y^2}{y(2x+x^2)}\quad\right|\;y'=\frac{dy}{dx}$$$$\left.\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{y(2x+x^2)}\quad\right|\;\cdot dx$$$$\left.dy=\frac{1+y^2}{y(2x+x^2)}dx\quad\right|\;\cdot\frac{y}{1+y^2}$$$$\left.\frac{y}{1+y^2}dy=\frac{1}{2x+x^2}dx\quad\right.$$$$\left.\frac{y}{1+y^2}dy=\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{2(x+2)}\right)dx\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.\frac{2y}{1+y^2}dy=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right)dx\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.\ln(1+y^2)=\ln |x|-\ln|x+2|+c\quad\right.$$$$\left.\ln(1+y^2)=\ln\left(\left|\frac{x}{x-2}\right|\right)+c\quad\right|\;e^{\cdots}$$$$\left.1+y^2=\left|\frac{x}{x-2}\right|\cdot e^c\quad\right|\;-1$$$$\left.y^2=\left|\frac{x}{x-2}\right|\cdot e^c-1\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.y=\pm\sqrt{\left|\frac{x}{x-2}\right|\cdot e^c-1}\quad\right.$$Mit der Anfangsbedingung $y(1)=1$ muss auf jeden Fall das positive Vorzeichen der Wurzel gelten und für die Konstante $e^c$ finden wir:$$1=\sqrt{\left|\frac{1}{1-2}\right|\cdot e^c-1}\quad\Rightarrow\quad e^c=2$$Damit ist die Lösung:$$y=\sqrt{2\left|\frac{x}{x-2}\right|-1}$$

Comments

Hallo, die Frage ist ja schon ein wenig her und ich bedanke mich nochmal für  deine Antwort, aber könntest du vielleicht nochmal sagen, wie du darauf kommt *2 zu rechnen? Bzw. welche Idee dahinter steckt?:)

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Wahrscheilich, damit dass linke Integral mit Substitution aufgeht, oder?

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Durch die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit 2 wird das Integral links zu:$$\int\frac{y}{1+y^2}dy\to\int\frac{2y}{1+y^2}dy$$Das ist dann von der Form$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$Ich habe also mit 2 multipliziert, damit im Zähler exakt die Ableitung des Nenners steht und ich das Integral sofort hinschreiben kann.

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Okay, lieben Dank:)

Answer 2

Hallo,

Lösung durch Trennung der Variablen möglich:

y'=dy/dx

dy/dx= (1+y²)/((y(2x+x²))

y (2x+x²)dy= (1+y²) dx

(y dy )/(1+y²)= dx/(2x+x²)

usw.

Lösung mit AWB:

y(x) = √(5 x - 2)/√(x + 2)

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Besten Dank:)