Extremwert ohne Nebenbedingungen

Question

Aufgabe: Berechnen Sie die stationären Stellen der Funktion z=f(x;y)=y^2+3/2x-5y-y√x.

Problem/Ansatz: Ich habe die Ableitungen berechnet komme aber nicht auf die stationären Stellen. Habe als Ableitungen einmal fx(x,y)=3/2-y*1/2*x^-1/2=0 und einmal fy(x,y)=2y-5-x^1/2=0.

Habe versucht fy nach y aufzulösen und kam dann auf y=0,5x^1/2+2,5. Komme aber nicht weiter.

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Answer 1

   3/2-y*1/2*x^(-1/2)=0 und 2y-5-x^(1/2)=0

==>     3/2    =  y*1/2*x^(-1/2)  und y = 2.5 + 0.5*x^(1/2)

==>     3/2  *x^(1/2)   =  y*1/2    und y = 2.5 + 0.5*x^(1/2)

==>     3  *√x   =  y   und y = 2.5 + 0.5*x^(1/2)
==>       3  *√x   = 2.5 + 0.5*x^(1/2)

==>       3  *√x   - 2.5    = 0.5*x^(1/2)    = 0,5*√x

 ==>         2,5  *√x   - 2.5    = 0

                             x = 1

Answer 2

Hallo,

mit den beiden Ableitungen, die ja gleich 0 sein sollen, hast Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die Ableitungen sind$$f_x = \frac 32 - \frac {y}{2\sqrt x} \to 0 \\ f_y = 2y - 5 - \sqrt x \to 0$$aus \(f_y=0\) lässt sich \(\sqrt x\) isolieren und in \(f_x=0\) einsetzen:$$\begin{aligned} \implies \sqrt x &= 2y - 5 \\ \frac 32 - \frac {y}{2(2y - 5)} &= 0 \\ 3 (2y - 5) &= y \\ 5y &= 15 \\ y &= 3, \quad x = 1 \\ \end{aligned}$$Schaut man sich den Plot an, sieht das Ergebnis sinnvoll aus: