In Abhängigkeit von x auf absolute Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie in Abhängigkeit von \( x \in[-1,1] \) die folgende Potenzreihe

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k} \)

auf absolute Konvergenz und auf Konvergenz.

Answer 1

Aloha :)$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\,x^k=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\,x^k\quad;\quad a_k=\frac{(-1)^{k-1}}{k}$$Wir betrachten:$$\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\left|\frac{(-1)^{k-1}}{k}\cdot\frac{k+1}{(-1)^{(k+1)-1}}\right|=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}\;\stackrel{k\to\infty}{\to}\;1$$Der Konvergenzradius der Reihe ist daher \(|x|<1\).

Für \(x=1\) und \(x=-1\) konvergiert die Reihe nicht, weil es durch das alternierende Vorzeichen zwei Häufungspunkte gibt, einen bei \(1\) und einen bei \(-1\).

Berichtigung:

Ich war zu voreilig, wie in den Kommentaren zu sehen, konvergiert die Reihe auch für \(x=1\), nämlich gegen \(\ln(2)\). Danke an MathePeter und ullim!

Comments

Hallo,

wenn ich x=1 setze, erhalte ich die konvergente Leibniz-Reihe?

Gruß

---

Ich denke für \( x = 1 \) konvergiert die Reihe sehr wohl und zwar gegen \( \ln(2) \) weil nämlich gilt $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\,x^k = \ln(x+1) $$.

Bei \( x = -1 \) ergibt sich \( -\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \), und da die harmonische Reihe ist divergent.

---

Oha, ja ihr habt Recht...

Danke fürs Aufpassen und Bescheid sagen ;)