Beweise OHNE Worte, d.h. auch anhand von Rechtecksflächen

Question

Geben Sie für die nachstehenden Sachverhalte jeweils einen Beweis ohne Worte
(3) Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetrischen Mittel:$$\sqrt{ab} \le \frac {a+b}2 \quad \Leftrightarrow  \quad 4ab \le (a+b)^2$$ ab−−√≤a+b2(⇔4ab≤(a+b)2)

(4) Ungleichung: $$x + \frac 1x \ge 2$$ x+1x≥2

Tipp: Betrachten Sie alle Produkte als Rechtecksflächen. Wie kann man (4) aus (3) folgern?

Kopie aus Kommentar

x+1/x=2 hat x=±i als Lösung.
Aha ...

Man lernt nie aus ...

Comments

x+1x≥2

steht da wirklich 1x?

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Schreib doch bitte zuerst einmal die Aufgabenstellung in lesbarer Form hin.

Das Eingabefenster stellt am oberen Rand nützliche Hilfen bereit !

Nebenfrage: hast du den ganzen "Quark" (den du nicht so ganz verstehst) einfach irgendwie eingescannt ?

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x+1x≥2
steht da wirklich 1x?

ich vermute, es soll heißen:$$x + \frac 1x \ge 2$$

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x+1/x=2 hat x=±i als Lösung. Der Einheitskreis in der gaußschen Zahlenebene hat den Durchmesser 2. In diese Richtung würde ich mir was überlegen.

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x+1/x=2 hat x=±i als Lösung.

Aha ...

Man lernt nie aus ...

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uspi, ich weiß gar nicht mehr, wie ich darauf kam!

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Auch wenn die Aufgabe schlecht lesbar war, ist sie jetzt gelöst.    :-)

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Auch wenn die Aufgabe schlecht lesbar war, ist sie jetzt gelöst.

Na schön - aber wenn ich schon gleich zu Beginn feststellen muss, dass der Fragende anscheinend keinen blassen Dunst vom Inhalt der Aufgabe hat, dann sähe ich dringendere Ziele als die Aufgabe für ihn zu lösen ....

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Obwohl geschlossen muß ich meinen
Senf auch noch dazugeben

√ (ab) ≤ ( a + b ) / 2
2 *√ (ab) ≤ ( a + b )  | quadrieren
4 a b ≤ a^2 + 2ab + b^2
0 ≤ a^2 - 2ab + b^2
0 ≤ ( a - b ) ^2
Rechts steht immer etwas größer / gleich null

Answer 1

Hallo,

mal angenommen, es soll geometrisch gezeigt werden, dass $$x + \frac 1x \ge 2$$dann erweitere ich das zunächst mal mit \(x\):$$x^2 + 1 \ge 2x$$und dazu folgendes Bild:

Das rote Quadrat links unten hat den Flächeninhalt \(1\) und rote rechts oben \(x^2\). Die Summe beider Quadrate ist größer als die Summe der grünen Rechtecke mit dem gemeinsamen Flächeninhalt von \(2x\). Das sieht man, wenn man die grünen Rechtecke diagonal zerschneidet und aus den vier rechtwinkligen Dreiecken (gelb) ein Quadrat mit der Seitenlänge der Diagonale formt. Dann verbleibt ein Loch in der Mitte. Nach Pythagoras wäre die Fläche dieses Quadrats gleich der Summe der beiden roten.

gilt natürlich auch, wenn \(x \lt 1\) ist. Nur bei \(x=1\) entsteht Gleichheit.

Wie kann man (4) aus (3) folgern?

indem man das arithmetische und geometrische Mittel aus \(x^2\) und \(1\) bildet: $$\frac 12 \left( x^2 + 1\right) \ge \sqrt{x^2 \cdot 1}$$

Gruß Werner

Answer 2

(Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel#/media/Datei:Am_gm_half_circle2.svg )

Comments

@racine_carrée :

Ich bezweifle SEHR , ob es sinnvoll ist, perfekte Lösungszeichnungen für jemanden zu liefern, der nicht einmal in der Lage scheint, eine klare Fragestellung zu formulieren !

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Das ist ja kein exklusives Wissen, man hätte einfach nach der Ungleichung googeln können und wird sofort tausendfach fündig.

https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel#/media/Datei:Am_gm_half_circle2.svg

Ist auch CC BY 4.0 also darf man es teilen.

Answer 3

Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b. Du kannst 4 Rechtecke mit den Seiten a und b einzeichnen. In der Mitte entsteht ein kleines Quadrat.

Also (a+b)^2 ist größer oder gleich 4ab.

$$x+\frac{1}{x}\ge 2\\ x^2+1\ge 2x\\ x^2+2x+1\ge 4x\\ (x+1)^2\ge 4x\cdot 1$$

Also folgt 4) aus 3).      :-)

Answer 4

Betrachten Sie alle Produkte als Rechtecksflächen. Wie kann man (4) aus (3) folgern?

(3) Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetrischen Mittel:
ab−−√≤a+b2(⇔4ab≤(a+b)2)

(4) Ungleichung:
x+1x≥2

Hier zwingend noch die korrekte Fragestellung angeben. D.h. einfach deine Fragen nochmals durchlesen nach dem Absenden. Und dann einen klärenden Kommentar schreiben.