Lagrange Funktion Vorgehensweise

Question

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Ich habe ein kleines Verständnisproblem in Sachen Lagrange Funktion!

Ich habe eine Gleichung f(x,y) = xy^{2}z^3 und die Nebenbedingung x+y+z = 6, also x+y+z-6=0

Die partiellen Ableitungen habe ich bereits gebildet und nun muss ja jede dieser Ableitungen = 0 gesetzt werden - richtig?

Hier liegt mein Problem...welche Werte muss ich hier nun errechnen und wo einsetzen?
Habe das Grundprinzip noch nicht ganz verstanden...

Als Ableitungen habe ich folgende:

y^{2}z^3 + λ   = 0

2xyz^3 + λ  = 0

3xy^{2}z^2 + λ  = 0

und x+y+2 - 6  = 0

Wie gehe ich nun weiter vor?

Answer 1

Ich nehme an, deine Funktion f sieht so aus:  f ( x, y, z ) = x * y ² * z ³

Dann sind die von dir berechneten Ableitungen korrekt. Nun musst du dieses Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit den vier Unbekannten x, y, z und λ lösen.

Es ergibt sich:

x = 1 , y = 2 , z = 3 , λ = 108

Unter der Restriktion x + y + z = 6 hat also f ( x , y , z ) = x * y ² * z ³ 
an der Stelle ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) eine Extremstelle.
Der Wert von f an dieser Stelle ist:

f ( 1 , 2 , 3 ) = 108

Comments

Danke, genau das muss auch raus kommen!  Aber wie gehe ich bei dem auflösen vor? Für mich sind es zu viele unbekannte um dort irgendwie etwas auflösen zu können :/
Danke für die Antwort

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Und die Funktion ist leider etwas falsch geschrieben oben...


Sie lautet natürlich so wie du es geschrieben hast!

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$${ y }^{ 2 }{ z }^{ 3 }=\lambda$$$$2xy{ z }^{ 3 }=λ$$$$3x{ y }^{ 2 }{ z }^{ 2 }=λ$$$$x+y+z=6$$Das Ganze ist etwas "tricky". Zunächst 1. Gleichung etwas umschreiben:$${ y }^{ 2 }{ z }^{ 3 }=\lambda \Leftrightarrow { y }^{ 2 }{ z }^{ 2 }=\frac { \lambda  }{ z }$$Damit folgt aus der 3. Gleichung:$$3x{ y }^{ 2 }{ z }^{ 2 }=\lambda \Leftrightarrow 3x\frac { \lambda  }{ z } =\lambda \Leftrightarrow z=3x$$und aus der 2.Gleichung:$$2xy{ z }^{ 3 }=\lambda \Leftrightarrow \frac { 2xz }{ y } { y }^{ 2 }{ z }^{ 2 }=\lambda$$$$\Leftrightarrow \frac { 2x*3x }{ y } \frac { \lambda  }{ z } =\lambda \Leftrightarrow 6{ x }^{ 2 }=y*z=y*3x\Leftrightarrow y=2x$$und aus der 4. Gleichung:$$x+y+z=6\Leftrightarrow x+2x+3x=6\Leftrightarrow 6x=6\Leftrightarrow x=1$$"Rückwärtseinsetzen" ergibt:$$\Rightarrow y=2x=2, z=3x=3$$und aus der 1. Gleichung schließlich:$$\lambda ={ 2 }^{ 2 }*{ 3 }^{ 3 }=108$$

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Verstehe, also ich habe die Ergebnisse jetzt auch raus!
Aber sogar noch etwas anders berechnet...

Also ich habe mit meinen drei Gleichungen ( ohne die NB ) die einzelnen Werte für z und y
herausgefunden das zB. y = 2x ist und z=3x  und dann diese Werte für z und y in die NB eingesetzt,
sodass ich nach x auflösen konnte.

Damit hatte ich den x-Wert = 1 berechnet.

Den x-Wert dann in die NB eingesetzt bis auf z und dann z berechnet z=3


und das ganze dann für y=2.


Vorgehensweise ist so korrekt oder?

Also hilft mir die Lagrangefunktion eigentlich nur um Werte zu finden, damit ich dann Variable
in der NB durch diese austauschen kann und damit nur eine Variable habe nach der ich auflösen kann?!