6 | n^4-n^2 Beweis mit der Induktion

Question

Hallo Leute,

meine Freundin hat eine Aufgabe bekommen, da sie die Uni gewechselt hat kommt sie mit den Aufgaben dort gar nicht klar

 leider und könnt ihr persönlich leider auch nicht weiterhelfen.

Die Aufgabe lautet:  6| n⁴-n² und als Hinweis 2| n*(n+1)

                                                                        3| n*(n+1)*(n+2)

und soll mit der der Induktion gelöst werden.

Hätte da einer vielleicht eine Idee zu das wäre echt mega lieb! Dann hätte sie wenigstens einen Beispiel zu solch dieser Aufgabe.

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Statt "2 | a*(n+1)" muss es "2 | n*(n+1)" heißen!

Answer 1

\(\begin{aligned} \left(n+1\right)^{4}-\left(n+1\right)^{2} & =\left(n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\right)-\left(n^{2}+2n+1\right)\\ & =n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1-n^{2}-2n-1\\ & =n^{4}+4n^{3}+5n^{2}+2n\\ & =n^{4}-n^{2}+4n^{3}+6n^{2}+2n\\ & =\left(n^{4}-n^{2}\right)+4n^{3}+12n^{2}+8n-6n^{2}-6n\\ & =\left(n^{4}-n^{2}\right)+4\left(n^{3}+3n^{2}+2n\right)-6\left(n^{2}+n\right)\\ & =\left(n^{4}-n^{2}\right)+4n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\left(-6\right)n\left(n+1\right) \end{aligned}\)

Jeder der drei Summanden ist durch 6 teilbar

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Super ich danke dir vielmals und meine Freundin auch !

Answer 2

Hier braucht man nicht mal die Induktion wenn sie nicht vorgeschrieben wäre.

n^4 - n^2
= (n^2 + n) * (n^2 - n)
= n * (n + 1) * n * (n - 1)

Mind. einer der Faktoren ist  gerade und mind. einer der Faktoren ist durch 3 teilbar.

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Vieeelen Dank!