aij = 1, positiv definit?

Question

Aufgabe:

Für welche Zahlen k ∈ ℝ ist A=(a_i,j) ∈ ℝ^nxn mit

a_ij = 1, wenn i gleich j  und k, wenn i ungleich j positiv definit?

ideen?

Answer 1

Die Matrix $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & \cdots & a \\ a & 1 & \cdots & a \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a & a & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$ hat die Determinante

$$\det(A) = (1-a)^{n-1}(1+(n-1)a)$$ und deshalb sind die Eigenwerte von $A$

$$\lambda = 1 - a$$ und $$\lambda = 1 + (n-1)a$$

Die Eigenwerte müssen alle $> 0$ sein, damit $A$ positiv definit ist. Also gilt für $a$ die folgende Bedingung

$$-\frac{1}{n-1} < a < 1$$

Comments

Wie schließt man denn von der Determinante auf die Eigenwerte?

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Allg. ist die Determinate der Matrix $A$, falls man die Einsen auf der Diagonalen durch eine Variable $b$ ersetzt $$(b-a)^{n-1}(b+(n-1)a)$$ Danach dann für $b$ den Wert $1 - \lambda$ einsetzen ergibt das Ergebnis.