aij = 1, positiv definit?

Question

Aufgabe:

Für welche Zahlen k ∈ ℝ ist A=(a_i,j) ∈ ℝ^nxn mit

a_ij = 1, wenn i gleich j  und k, wenn i ungleich j positiv definit?

ideen?

Answer 1

Die Matrix $$  A = \begin{pmatrix} 1 & a & \cdots & a \\ a & 1 & \cdots & a \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a & a & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$ hat die Determinante

$$ \det(A) = (1-a)^{n-1}(1+(n-1)a) $$ und deshalb sind die Eigenwerte von \( A \)

$$  \lambda = 1 - a $$ und $$ \lambda = 1 + (n-1)a  $$

Die Eigenwerte müssen alle \( > 0 \) sein, damit \( A \) positiv definit ist. Also gilt für \( a \) die folgende Bedingung

$$  -\frac{1}{n-1} < a < 1 $$

Comments

Wie schließt man denn von der Determinante auf die Eigenwerte?

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Allg. ist die Determinate der Matrix \(A\), falls man die Einsen auf der Diagonalen durch eine Variable \( b \) ersetzt $$ (b-a)^{n-1}(b+(n-1)a)  $$ Danach dann für \( b \) den Wert \( 1 - \lambda \) einsetzen ergibt das Ergebnis.