Aussagen zu linearer (Un)abhängigkeit

Question

$$\text{Es sei V ein } \mathbb {K} \text{ - Vektorraum mit Dimension n.}$$

1.) Folgende Aussage ist falsch: $$\text{Jedes System von n verschiedenen Vektoren aus V ist linear unabhängig.}$$

2.) Folgende Aussage ist wahr: $$\text{Jedes System von n+1 Vektoren aus V ist linear abhängig}$$

Kann mir jemand erklären wieso die Aussagen falsch bzw. wahr sind?

Von 2.) weiß ich schon, dass es irgendetwas mit der Basis zu tun hat. Und sobald es mehr Vektoren sind, dass diese dann nicht mehr in der Basis sind und dementsprechend linear abhängig.

Answer 1

Hallo

bei 2 hast du recht,  n linear unabhängigen Vektoren, kann man immer als  Basis von V nehmen , d.h. jeden Vektor aus V linear kombinieren, deshalb gibt es höchstens n lin. unabhängige Vektoren in V.

 aber n verschiedene Vektoren müssen ja nicht liner unabhängig sein, z.B ist v3=v1+v2 verschieden von v1 und v2 aber nicht linear unabhängig.

Gruß lul