Existieren zwei differenzierbare reelle Funktionen f,g mmit folgenden Eigenschaften

Question

Liebe Community,

Ich komme wieder bei einer Aufgabe nicht voran weil ich nicht weiß was gemacht werden soll.

Die Aufgabe lautet:

Gibt es zwei diifferenzierbare reelle Funktionen \(f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) mit

* \(\mathbb{R} \ni \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) \le \lim_{x \rightarrow - \infty} g(x) \in \mathbb{R} \) und

* \( f'(x) \le g'(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}\) und

* \(f(1) = 8, g(1)=5?\)

Ich habe mir überlegt, stetigkeit bzw. differenzierbarkeit der Funktionen zu zeigen,aber ich habe keine Idee wie ich an diese Aufgabe ranzugehen habe.

Muss ich stetigkeit bzw. differenzierbarkeit der Funktionen zeigen? oder nur angheben ob das Möglich ist.

Ich bedanke micht schon einmal für eure Hilfe bini euch sehr dankbar.

Liebe Grüße

Die 2. Ableitung

Comments

Update:

Habe versucht mit Funktionen zu arbeiten, von welchen ich weiß, dass sie differenzierbar sind.

Bspw. die Konstante funktion, welche die kriterien, bis auf den letzten Punkt erfüllt,

die exponential, potenz- und logarithmusfunktion.

Es ist gut möglich das ich zu kompliziert und ohne richtigen Plan an diese Aufgabe ran gehe, aber

ich bin zu keiner Lösung gekommen.

Grüße

Die 2. Ableitung

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Zudem habe ich versucht auf polynome an sich zu schaen, da wir wissen, dass jedes Polynom

differenzierbar ist.

Habe es mit \(f(x)=x+x+x+x+x+x+x\) und \(g(x) = x+x+x+x+x\) versucht nur klappt nnicht. Schon beim ersten Punkt sscheitern diese Funktionen, da die Gw nich tin \(\mathbb{R}\) liegen.

Grüße

Die 2. Ableitung

Answer 1

Hallo,

Ich unterstelle mal, dass differenzierbar auch stetig differenzierbar bedeutet, d.h. die Ableitungen beider Funktionen sind stetig.

Betrachte die Funktion \(d(x) = f(x) - g(x)\). Nach Vorgabe ist \(d(1) = 8 - 5 = 3 \gt 0\). Aus der Vorgabe, dass $$\lim_{x \to - \infty} f(x) \le \lim_{x \to -\infty} g(x) $$folgt, dass $$\lim_{x \to -\infty} d(x) \le 0 $$sein soll. Nun ist aber $$d'(x) = f'(x) - g'(x) \le 0 \space \forall x \in \mathbb R$$Wenn aber \(d(1)=3\) und \(d(-\infty) \to 0\), dann muss ja im Intervall \((-\infty; 1]\) nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung ein \(x\) existieren mit \(d'(x) \gt 0\).  Das widerspricht sich aber mit \(d'(x) \le 0 \space \forall x\).

Comments

Die Unschönheit mit dem unendlichen Intervall beseitigst du, indem du durch vst. Ind. zeigst, dass  d(-n) ≥ 3 für alle  n ∈ ℕ₀  gilt, was zum Widerspruch zu lim_x→−∞ d(x) ≤ 0 führt.

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.. ist auch 'ne Möglichkeit.

Ich hatte daran gedacht zu postulieren, dass aus $$\lim_{x \to -\infty} d(x) = 0$$nebst \(d(1) = 3 \) folgt, dass ein Wert \(a \lt 1\) existiert, für den \(d(a) = 1\) sein muss. Mit $$\frac{d(1) - d(a)}{1-a} = \frac{2}{1-a} \gt 0$$müsste dann im Intervall \([a;1]\) ein \(d'\) mit positiver Steigung existieren.