Skalarprodukt ermitteln mit Vektor im Vektor, Betrag und Winkel

Question

Aufgabe:

Ich muss ein Skalarprodukt ermitteln mit \( \vec{a} \) = -3\( \vec{c} \) + 2\( \vec{d} \) und \( \vec{b} \) = 4\( \vec{c} \) -3\( \vec{d} \)

unter der Bedingung, dass I\( \vec{c} \)I = 4 ist, sowie \( \vec{d} \) = 3 ist und der Winkel zwischen Vektor c und Vektor d = 60° = pi/3 ist

Problem:

Ich weiß nicht wie ich einen Vektor in einem Vektor berechnen soll. Ich finde auch nichts vergleichbares im Internet.

Answer 1

Hallo,

\( \vec d = 3 \)

wohl eher \( | \vec d | = 3 \) oder?

Das Skalarprodukt ist bilinear und symmetrisch:

$$ \begin{aligned} \vec a \cdot \vec b &= (-3\vec c + 2 \vec d) \cdot (4\vec c - 3 \vec d) \\ &= (-3\vec c + 2 \vec d) \cdot (4\vec c) - (-3\vec c + 2 \vec d) \cdot (3\vec d) \\ &=(-3\vec c)\cdot(4\vec c) + (2\vec d)\cdot(4\vec c) - (-3\vec c)\cdot(3\vec d)-(2\vec d)\cdot(3\vec d) \\ &= -12 (\vec c \cdot \vec c) + 17 (\vec c \cdot \vec d) - 6 (\vec d \cdot \vec d) \end{aligned} $$

Jetzt gilt: $$ \left|\vec c\right| = \sqrt{\vec c \cdot \vec c},\quad \left|\vec d\right| = \sqrt{\vec d \cdot \vec d} \\ \cos \sphericalangle(\vec c , \vec d) = \frac{\vec c \cdot \vec d}{\left|\vec c\right| \cdot \left|\vec d\right|} $$

Jetzt musst du nur noch ausrechnen.

Comments

nein also \( \vec{d} \)=3, nicht als Betrag.

Dementsprechend wäre |\( \vec{d} \) | = 3\( \sqrt{2} \)

für \( \vec{c} \) hätte ich \( \sqrt{8} \) raus.

Also muss ich die Vektoren \( \vec{c} \) * \( \vec{c} \), das gleiche auch für \( \vec{c} \)*\( \vec{d} \) und \( \vec{d} \)*\( \vec{d} \) ausrechnen als skalarprodukt, in das bestehende skalarprodukt einsetzen und dann komplett ausrechnen?

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\(\vec d \) ist doch ein Vektor? Soll \( \vec d = (3, 3) \) sein?

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Müssten die Beträge in der Winkelgleichung nicht quadriert werden?

ich komme dann auf 54. Allerdings habe ich komplett ohne den Winkel gerechnet.

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es ist nur \( \vec{d} \)=3 angegeben.

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es ist nur \( \vec d =3\) angegeben.

Dann würde ich von einem Tippfehler ausgehen.

Müssten die Beträge in der Winkelgleichung nicht quadriert werden?

Nein, vgl. https://de.m.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

ich komme dann auf 54. Allerdings habe ich komplett ohne den Winkel gerechnet.

Was hast du denn genau gerechnet?

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-12*4+17*6-6*3 = 36.

Richtig so?

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Nein. \( \vec c \cdot \vec c = 4^2 \) und warum gilt \( \vec d \cdot \vec d = 3\)?

Wie bist du auf \( \vec c \cdot \vec d = 6 \) gekommen ohne den Winkel zu verwenden?

Answer 2

Aloha :)

$$\vec a\cdot \vec b=(-3\vec c+2\vec d)\cdot(4\vec c-3\vec d)=-12\vec c^2+8\vec c\vec d+9\vec c\vec d-6d^2$$$$\phantom{\vec a\cdot\vec b}=-12c^2+17cd\cos\angle(\vec c,\vec d)-6d^2=-12\cdot4^2+17\cdot4\cdot3\cos60^\circ-6\cdot3^2$$$$\phantom{\vec a\cdot\vec b}=-192+102-54=-144$$

Comments

Ist \( \vec{c} \) = |\( \vec{c} \)|, weil du für \( \vec{c} \)*\( \vec{c} \) = |\( \vec{c} \)|^2 genommen hast?

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Nein, es ist nicht \(\vec c=|\vec c|\) bzw. \(\vec c=c\). Das würde ja bedeuten, dass der Vektor \(\vec c\) einfach durch seine Länge \(c\), also durch eine einzelne Zahl, ersetzt werden könnte.

Schau dir aber bitte mal das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst an:$$\vec c\cdot\vec c=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}=c_1^2+c_2^2+c_3^2$$und vergleiche es mit der Länge \(c\) des Vektors:$$c=\sqrt{c_1^2+c_2^2+c_3^2}\quad\text{bzw.}\quad c^2=c_1^2+c_2^2+c_3^2$$Jetzt kann man sehen, dass das Quadrat eines Vektors gleich dem Quadrat seiner Länge ist:$$\vec c^2=c^2$$Die Gleichheit gilt aber nur für die Quadrate!!!