Frage über Cauchy-Produkte.

Question

(a) Geben Sie zwei divergente Reihen \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) und \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{k} \) an, für welche das Cauchy-Produkt \( \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}\right) \cdot\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{k}\right) \) konvergent ist.
(b) Sei \( z \in \mathbb{C} \) mit \( 0<|z|<1 . \) Berechnen Sie den Wert der Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(k+1)(k+2) z^{k} \) mit Hilfe geeigneter Cauchy-Produkte.
(c) Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) eine beschränkte komplexe Folge mit \( \liminf _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|>0 . \) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} z^{k} \)

Comments

Bei (b) z.B.:$$\left(\sum_{k=0}^\infty z^k\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty z^k\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty2z^k\right).$$

Answer 1

Weil $$ \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n  $$ gilt für \( |z| < 1 \) folgt

$$ \left( \frac{1}{1-z} \right)^2 = \left( \sum_{n=0}^\infty z^n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty z^n \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n z^k z^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty (n+1) z^n $$

Genauso folgt $$ \left( \frac{1}{1-z} \right)^3 = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (k+1)z^k z^{n-k} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (n+1) (n+2) z^n  $$

Also gilt $$ \sum_{n=0}^\infty (n+1) (n+2) z^n = 2 \cdot \left( \frac{1}{1-z} \right)^3 $$