Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen von Matrizen angeben

Question

Aufgabe:

Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Wir betrachten auf dem K-Vektorraum Kⁿ die folgende Relation

v ∽ v' ⇔ v' = A·v für ein A ∈ GLn(K)

i) zeige Sie, dass ∽ eine Äquivalenzrelation ist.

ii) Geben Sie die Anzahl der Äquivalenzklassen von ∽ an

Ansatz:

Reflexivität:  v ∼ v ⇔ v = A · v mit A= I_n für alle v ∈ Kⁿ 

das ist nur eine Vermutung. Wäre nett wenn jemand helfen könnte

Answer 1

Zu i). Ja das sieht schonmal gut aus. Nun die Symmetrie. Nutze dabei aus, woher deine Matrizen A kommen. Bei der Transitivität hast du eben schon \(v \sim v'\) sowie \(v'\sim v"\) gegeben, also jeweils \(v'=A\cdot v\) und \( v''=B\cdot v' \) für \(A,B\in GL_n(\mathbb{K})\). Was kannst du nun machen?

Comments

bei der Symmetrie würde ich sagen:

v ∽ v' ⇒ v' ∽ v  

v' = A·v ,da A invertierter ist folgt A^-1·v' = A^-1·A·v ⇔ A^-1·v' = I_n·v ⇔A^-1·v' = v

Bei der Transivität

v ∽ v' und v' ∽ v'' ⇒ v ∽ v''

v' = A·v  und v'' = B·v' dann musste folge, dass v''= Av·Bv', da beide invertierter sind können wir 

v''= (Av·Bv')·(A·B)^-1 =  (Av·Bv')·B^-1·A^-1 = Av·(B·B^-1)·v'·A^-1 = A·A^-1·v·v' = v·v'

bin mir hier aber nicht sicher ?

bei der Äquivalenzklassen hab keine Ahnung wie die Klassen aussehen könnten außer die Menge der  I_n ? wie würde man da vorgehen ?