Es sei K ein Körper. Beweisen oder widerlegen Sie

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper. Beweisen oder widerlegen Sie jede der folgenden Aussagen.
(a) Es sei K ein endlicher Körper, d. h. |K| < ∞, und es sei V ein K-Vektorraum. Dann
gilt |V | < ∞.
(b) Es sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins und es gibt einen Körper (K, +, ·) mit
K ⊆ R. Dann ist R ein K-Vektorraum.
(c) Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und f : V → V eine bijektive Abbildung.
Wir definieren die Abbildungen v⊕w := f(f^-1(v)+f^-1(w)) und λ⊗v := f(λ·f^-1(v)),
wobei + und · jeweils die Addition und die skalare Multiplikation in V bezeichnen.
Dann ist (V, ⊕, ⊗) ein K-Vektorraum.
(d) Es sei V ein K-Vektorraum, λ1, λ2 ∈ K und x ∈ V . Dann folgt aus λ1x = λ2x die
Gleichung λ1 = λ2.
(e) Es sei V ein K-Vektorraum, λ ∈ K und x, y ∈ V . Dann folgt aus λx = λy die
Gleichung x = y.
(f) R ist ein Z-Vektorraum.
(g) Es sei V ein K-Vektorraum und f : V → V eine Abbildung mit den Eigenschaften
f(λv) = λf(v) und f(v + w) = f(v) + f(w) fur alle ¨ λ ∈ K, v, w ∈ V . Dann ist die
Menge der Fixpunkte F := {v ∈ V | f(v) = v} ein K-Vektorraum.
Problem/Ansatz:

Hilfe bitte!!!! 

Answer 1

(a) Es sei K ein endlicher Körper, d. h. |K| < ∞, und es sei V ein K-Vektorraum. Dann
gilt |V | < ∞.

falsch: VR aller Folgen mit Gliedern aus F₂ (Körper mit 0 und 1)
(b) Es sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins und es gibt einen Körper (K, +, ·) mit K ⊆ R. Dann ist R ein K-Vektorraum.

Die meisten VR-Axiome (assoziativ, distributiv ,.. ) entsprechen ja

den Ring bzw. Körperaxiomen. Abgeschlossenheit ist auch klar,

bzgl + weil (R,+) eine Gruppe ist und bzgl  · weil   (R, ·) abgeschlossen

ist und  K ⊆ R.
etc.