Lineare Algebra - Isomorphismus-Beweis!?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich beweisen, dass folgende Isomorphismen abelscher Gruppen existieren:

(1) \( \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \)
(2) \( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \cong\{0\} \)
(3) \( \mathbb{Q} / \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Q} / \mathbb{Z} \cong\{0\} \)

Comments

Wofür steht das Symbol \( \otimes \)?

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Ich bin mir nicht sicher, aber ich denke, dass es wie die normale Multiplikation bezeichnet! Weil ich das an der Vorlesung hatte und ich nicht damals da war!

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Ich tippe auf: Fasse die abelschen Gruppen als ℤ-Moduln auf und betrachte das Tensorprodukt über ℤ.

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Könntest du bitte das noch mal klar erklären, weil ich dich nicht ganz verstanden habe!

#MatHaeMatician

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Naja jede abelsche Gruppe ist ein ℤ-Modul. Und von diesen ℤ-Moduln kann man das Tensorprodukt über ℤ betrachten.

Es ist

ℤ/nℤ ⊗_ℤ ℤ/mℤ = ℤ/ggT(n,m)ℤ

Und

ℚ/ℤ ⊗_ℤ ℚ/ℤ = {0}

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Es tut mir leid, aber ich komme immer noch nicht voran!

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Wofür steht das Symbol ⊗?

Beantworte doch mal die Frage von @Mister.

Schau in deinem Skript nach und gib die Definition dieses Symbols an.

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ich habe leider keine Skript. Ich lerne alles von alleine und ich habe keine wissenschaftlichen Definition gefunden.!

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Woher stammt die Aufgabe dann?

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Ich lerne online nur mit Übungen und ich kriege die per E-Mail. Also ich bin kein Student sondern normaler Mensch, der Mathematik sehr mag und für mich Spaß macht!