Aloha :)
$$\left.2K\stackrel{!}{=}K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\quad\right|\quad:K$$$$\left.2=\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.\ln2=n\cdot\ln\left(1+\frac{p}{100}\right)\quad\right|\quad:\ln\left(1+\frac{p}{100}\right)$$$$\left.n=\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{p}{100}\right)}\quad\right.$$Damit kannst du die Werte für (a) schnell ausrechnen.
Interessant ist nun (b). Da der Zinssatz \(p\) in der Regel nicht allzu groß ist, kann man die Näherung \(\ln(1+x)\approx x\) verwenden und findet:$$n=\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{p}{100}\right)}\approx\frac{\ln2}{\frac{p}{100}}=\frac{100\ln2}{p}\approx\frac{69}{p}$$Da \(69\) nur weinige Teiler hat, wählt man stattdessen die \(72\). Mit der Formel $$\boxed{n\approx\frac{72}{p}}$$kann man im Kopf überschlagen, nach wie vielen Jahren \(n\) sich das Kapital bei einem Zinssatz von \(p\) Prozent verdoppelt hat.
Dir soll bei der Multiplikation von Verdopplungszeit \(n\) und Zinssatz \(p\) also auffallen, dass das Produkt in etwa konstant ist... nämlich um die \(70\) herum liegt ;)
