Explizite und rekursive Bildungsvorschrift für die Folge -7; -3; 2; 8; 15; 23; 32; ...

Question

Aufgabe:

Explizite und rekursive Bildungsvorschrift für die Folge:

-7; -3; 2; 8; 15; 23; 32; ...

Problem/Ansatz:

Ich weiß die nächsten Glieder: 42, 53 usw. habe aber keine Ahnung, wie die rekursive und explizite Bildungsvorschrift lautet.

Answer 1

Ich habe mir irgendwann mal in der 9 oder 10 Klasse folgendes hergeleitet

Dabei zählt x von 0 bis n

-7   -3   2   8   15   23   32
   4    5   6   7    8    9
      1   1   1    1    1

c = -7
a + b = 4
2a = 1

f(x) = 0,5x² + 3,5x - 7

Answer 2

Die Differenz zweier benachbarter Glieder nimmt ständig um 1 zu. Das ist auch bei der bekannten Folge

1

1+2

1+2+3

1+2+3+4

... der Fall, welche die explizite Bildungsvorschrift n(n+1)/2 hat. Das können wir aber nicht 1 zu 1 übertragen, weil unsere Folge als erste Differenz den Wert 4 (der Abstand zwischen -7 und -3 ist 4) hat.

Nun gilt

-7=-13+(1+2+3) =-13 + 3*4/2

-3=-13+(1+2+3+4)= -13 + 4*5/2

2=-13+(1+2+3+4+5)= -13+ 5*6/2

Verallgemeinere das, und du hast die explizite BV.

Für die rekursive BV kannst du a1 und a2 angeben. Überlege dir dann, wie man z.B. a3 bekommt, wenn man a2 hat und die Differenz (a2-a1) kennt.

Comments

Danke, du hast mir sehr geholfen.

Answer 3

rekursiv: a_n=a_n-1+n+3

explizit: Die zweite Differenzenfolge ist konstant. Daher Ansatz: a(n)=a·n²+b·n+c.

Ergebnis: a(n)=1/2·n²+5/2·n-10

Comments

Das ist aber nicht wirklich rekursiv, weil man mit deiner Formel AUCH das n (explizit) verwenden muss.

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Wie lautet also dein Vorschlag?

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Mit 2 Startwerten:

a₁=-7

a₂=-3

a_n=a_n-1+(a_n-1-a_n-2)+1

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Mit nur einem Startwert:

a₁=-7

a_n+1=a_n + 0,5 + \( \sqrt{26,25+2a_n} \)